开发适当的时间序列模型以根据上个月的记录预测销售

我已经连续两年从事在线业务，因此我拥有大约两年的月度销售数据。我每个月的业务肯定会受到季节性波动的影响（圣诞节期间的表现更好，等等），可能还有一些我不知道的其他因素。

为了更好地预测未来的销售，并评估我的销售活动的有效性或新竞争对手的影响，我希望能够开发一个适当的时间序列模型，以将我当前的销售数据推算到未来。这样，当我将预测结果与实际结果进行比较时，我可以定量地测试销售活动的有效性或竞争对手的影响。

我的问题是，鉴于我拥有2年的销售数据，无论如何，我是否可以为此制定一个预测性的时间序列模型？

注意：我对背景概念和理论更感兴趣，而不是黑匣子工具。说到工具，我有mathematica，matlab，R，Excel，Google Spreadsheet...。

是的，有很多方法可以做到这一点。人们以这样的方式谋生;-)

您正在寻找因果关系预测。查看这本有关预测的免费在线教科书，以了解预测方法。

您手上有两个关键问题需要处理：一方面是季节性（或更普遍地说，时间序列结构，可能带有自回归），另一方面是因果效应，例如促销。上面教科书中的第8章讨论了ARIMA环境下的时间序列问题，而第5章讨论了因果关系。

足够令人高兴的是，可以通过计算所谓的ARIMAX（X代表“外部效应”，即具有外部效应的ARIMA）模型或具有ARIMA错误的回归来解决这两个问题。有关差异，请参见Rob Hyndman的博客文章“ ARIMAX模型混乱”。R包中的auto.arima()函数forecast将适合ARIMA错误的回归。让我们来看一个示例，在该示例中，我采用具有强烈趋势和季节性的标准数据集并添加“促销”。

library(forecast)
AirPassengers # a built-in dataset
#      Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
# 1949 112 118 132 129 121 135 148 148 136 119 104 118
# 1950 115 126 141 135 125 149 170 170 158 133 114 140
# 1951 145 150 178 163 172 178 199 199 184 162 146 166
# 1952 171 180 193 181 183 218 230 242 209 191 172 194
# 1953 196 196 236 235 229 243 264 272 237 211 180 201
# 1954 204 188 235 227 234 264 302 293 259 229 203 229
# 1955 242 233 267 269 270 315 364 347 312 274 237 278
# 1956 284 277 317 313 318 374 413 405 355 306 271 306
# 1957 315 301 356 348 355 422 465 467 404 347 305 336
# 1958 340 318 362 348 363 435 491 505 404 359 310 337
# 1959 360 342 406 396 420 472 548 559 463 407 362 405
# 1960 417 391 419 461 472 535 622 606 508 461 390 432

set.seed(1) # for reproducibility
promos <- rep(0,length(AirPassengers))
promos[sample(seq_along(AirPassengers),10)] <- 1
promos.future <- c(0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0)
AP.with.promos <- AirPassengers
AP.with.promos[promos==1] <- AP.with.promos[promos==1]+120

model <- auto.arima(AP.with.promos,xreg=promos)
summary(model) # examine the model - you'll see the estimated promo coefficient
# Series: AP.with.promos 
# ARIMA(0,1,1)(0,1,0)[12]                    

# Coefficients:
#           ma1    promos
#       -0.3099  122.2599
# s.e.   0.0947    2.2999

# sigma^2 estimated as 151.2:  log likelihood=-457.4
# AIC=920.79   AICc=920.98   BIC=929.42

# Training set error measures:
#                     ME     RMSE     MAE        MPE     MAPE      MASE         ACF1
# Training set 0.2682805 11.12974 8.24397 0.06139784 2.867274 0.1860814 0.0008326436

fcast <- forecast(model,xreg=promos.future,h=length(promos.future))
fcast
#          Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
# Jan 1961       447.1516 431.3951 462.9081 423.0542 471.2490
# Feb 1961       543.4115 524.2670 562.5559 514.1326 572.6904
# Mar 1961       449.1516 427.1345 471.1687 415.4793 482.8239
# Apr 1961       491.1516 466.5956 515.7076 453.5964 528.7068
# May 1961       624.4115 597.5556 651.2674 583.3389 665.4841
# Jun 1961       565.1516 536.1777 594.1255 520.8399 609.4633
# Jul 1961       652.1516 621.2044 683.0988 604.8220 699.4812
# Aug 1961       758.4115 725.6095 791.2135 708.2452 808.5778
# Sep 1961       538.1516 503.5942 572.7090 485.3006 591.0026
# Oct 1961       491.1516 454.9237 527.3795 435.7459 546.5573
# Nov 1961       542.4115 504.5869 580.2361 484.5637 600.2593
# Dec 1961       462.1516 422.7950 501.5082 401.9608 522.3424
promos.ts <- ts(c(AP.with.promos,fcast$mean),
                  start=start(AirPassengers),frequency=frequency(AirPassengers))
promos.ts[c(promos,promos.future)==0] <- NA

plot(fcast)
points(promos.ts,pch=19,col="red")

红点是促销。默认情况下，您会获得以灰色绘制的预测间隔。您可以通过xreg参数将多个回归变量输入模型中，如果您具有不同类型的促销且效果不同，则应该执行此操作。做一点实验。

我建议您查看比每月更细粒度的数据（例如，每周一次）。尤其是如果您的促销活动不能持续整整几个月的话。您可以按产品单独进行此操作，特别是如果您促销特定产品，也可以按整体分类。

鉴于您对概念比代码更感兴趣，可以采用另一种方法，即在标准三个级别，季节和趋势组件中添加促销组件，以查看指数平滑并进行更改以满足您的需求。与尝试最大似然估计ARIMAX模型相比，使用指数平滑可以做更多的事情，但是如果您有多种促销类型，平滑可能会成为簿记的噩梦。

首先，您没有太多数据可玩，只有24个观测值。在您的情况下，这意味着您几乎没有几个参数可以可靠地估算。预测中最系统的方法是提出一个数据生成过程（DGP）。您假设什么是销售的真正过程，然后尝试估算其参数。

考虑具有AR（1）DGP的纯时间序列模型：，即，您本月的销售额是上个月销售额的加权平均值加上一个常数。您已经有3个参数（两个系数和一个误差方差），这意味着每个参数大约有8个观测值-显然不是很多。$x_t=\phi x_{t-1}+c$

由于您的销售是季节性的，因此我们必须为此做些事情。一种方法是添加乘法季节性：以滞后运算符表示或扩展形式：。这会增加一个参数来进行估算，因此每个参数可减少6个观测值-实际的拉伸。$(1-L)(1-L^{12})x_t=c$$x_t=c+\phi_1x_{t-1}+\phi_{12}x_{t-12}-\phi_1\phi_{12}x_{r-13}$

在Matlab中，此模型指定为 arima('ARLags',1,'SARLags',12)

这是假设您的销售稳定，即通常不会增长。

如果您认为自己的销售额在增长，那么您有两种选择：随机游走（RW）和时间趋势。

在Matlab RW中使用 arima('D',1,'SARLags',12)

显然，这些只是不同DGP的示例。无论您做什么，都要记住要估计的参数数量。包含24个观测值，您的模型必须非常简单，最多4个参数（包括方差）。

这是您应该做的事情制作两个图表：

• 整个24个月的销售额与时间
• 第二年的销售量与时间的关系绘制在第一年的顶部

看他们。注释任何特殊促销或已知竞争活动的日期。“十二月”通常很明显，但是如果有帮助，可以添加注释。

继续并拟合时间序列模型-任何模型（有数百种）。与您的判断相比，该模型可能会为您提供对下一个时段（t + 1）的更好预测。至少，它将挑战您的判断力。在下一个时期（t + n，n> 1）之后，任何时间序列模型都是废话。†因此，请不要定量评估销售活动的有效性或竞争对手的影响。如果将实际销售额与预测进行比较，您会发现预测很糟糕。预测未来很困难，没有任何方法可以改变这个基本事实。

您会发现两个图形更有用。进行一段时间的研究，然后将剩余的时间花在如何增加销售上的想法上-与尝试拟合时间序列模型相比，这将使您的时间获得更大的收益。

†如果您可以基于领先指标创建预测模型，则更有希望-即，前一个月的房屋销售可能有助于预测当月的窗帘销售。