在广义线性模型中检查残差的正态性

本文使用广义线性模型（二项式和负二项式误差分布）来分析数据。但是，在方法的统计分析部分中，有以下语句：

...然后通过使用Logistic回归模型对状态数据进行建模，并使用广义线性模型（GLM）对觅食时间数据进行建模。使用具有对数链接函数的负二项式分布来对觅食时间数据进行建模（Welsh等人，1996），并通过检验残差来验证模型的适当性（McCullagh＆Nelder 1989）。Shapiro–Wilk或Kolmogorov–Smirnov检验用于根据样本量检验正态性；在分析之前，对数据进行对数转换，以符合正态性。

如果他们假设二项式和负二项式误差分布，那么他们肯定不应该检查残差的正态性吗？

注意，除高斯模型外，偏差（或Pearson）残差不期望具有正态分布。对于逻辑回归情况，如@Stat所述，第个观测值偏差残差由下式给出：$i$$y_i$

$$r^{\mathrm{D}}_i=-\sqrt{2\left|\log{(1-\hat{\pi}_i)}\right|}$$

如果＆$y_i=0$

$$r^{\mathrm{D}}_i=\sqrt{2\left|\log{(\hat{\pi}_i)}\right|}$$

如果，其中是拟合的伯努利概率。由于每个值只能采用两个值之一，因此很明显，即使对于正确指定的模型，它们的分布也不是正态的：$y_i=1$$\hat{\pi_i}$

#generate Bernoulli probabilities from true model
x <-rnorm(100)
p<-exp(x)/(1+exp(x))

#one replication per predictor value
n <- rep(1,100)
#simulate response
y <- rbinom(100,n,p)
#fit model
glm(cbind(y,n-y)~x,family="binomial") -> mod
#make quantile-quantile plot of residuals
qqnorm(residuals(mod, type="deviance"))
abline(a=0,b=1)

但是，如果有第个预测变量模式的重复观测值，则定义了偏差残差以便收集它们$n_i$$i$

$$r^{\mathrm{D}}_i=\operatorname{sgn}({y_i-n_i\hat{\pi}_i})\sqrt{2\left[y_i\log{\frac{y_i}{n\hat{\pi}_i}} + (n_i-y_i)\log{\frac{n_i-y_i}{n_i(1-\hat{\pi}_i)}}\right]}$$

（其中现在是从0到的成功计数），然后随着变大，残差的分布近似于正态分布：Ñ 我Ñ $y_i$$n_i$$n_i$

#many replications per predictor value
n <- rep(30,100)
#simulate response
y<-rbinom(100,n,p)
#fit model
glm(cbind(y,n-y)~x,family="binomial")->mod
#make quantile-quantile plot of residuals
qqnorm(residuals(mod, type="deviance"))
abline(a=0,b=1)

泊松或负二项式GLM的情况相似：对于较低的预测计数，残差的分布是离散且偏斜的，但是在正确指定的模型下，较大的计数趋于正态。

对残差正常性进行正式测试是很平常的，至少不是在我的脖子上。如果在模型假设精确正态性的情况下，正常性测试本质上是无用的，那么很重要的一点是，如果没有，则没有用。然而，对于不饱和模型，图形残差诊断对于评估拟合的存在和性质非常有用，根据每种预测变量模式的重复次数，使用少量或少量盐进行正态分析。

他们所做的是正确的！我将为您提供仔细检查的参考。请参阅第5版线性回归分析简介中的 13.4.4节道格拉斯·蒙哥马利（Douglas C. Montgomery），伊丽莎白·佩克（Elizabeth A. Peck）和杰弗里·维宁（G. 特别是，请看第460页的示例，其中它们适合二项式glm，并仔细检查“残差”的正态性假设。如第458页所述，这是因为“偏差残差的行为很像标准残差理论线性回归模型中的普通残差”。因此，如果按法线概率图比例尺和拟合值来绘制它们，就很有意义。再次参见上述参考文献的456页。在第460和461页上提供的示例中，不仅针对二项式情况，而且针对具有（link = log）的Poisson glm和Gamma值，他们都检查了偏差残差的正态性。
对于二项式情况，偏差残差定义为：yi=0r D i =

$$r^{D}_i=-\sqrt{2|\ln{(1-\hat{\pi_i})}|}$$ 如果且如果。现在用R编写一些代码，向您展示如何获得它：$y_i=0$ÿ我= $$r^{D}_i=\sqrt{2|\ln{(\hat{\pi_i})}|}$$ $y_i=1$

> attach(npk)

> #Fitting binomila glm
> fit.1=glm(P~yield,family=binomial(logit))
> 
> #Getting deviance residuals directly
> rd=residuals(fit.1,type = c("deviance"))
> rd
         1          2          3          4          5          6          7 
 1.1038306  1.2892945 -1.2912991 -1.1479881 -1.1097832  1.2282009 -1.1686771 
         8          9         10         11         12         13         14 
 1.1931365  1.2892945  1.1903473 -0.9821829 -1.1756061 -1.0801690  1.0943912 
        15         16         17         18         19         20         21 
-1.3099491  1.0333213  1.1378369 -1.2245380 -1.2485566  1.0943912 -1.1452410 
        22         23         24 
 1.2352561  1.1543163 -1.1617642 
> 
> 
> #Estimated success probabilities
> pi.hat=fitted(fit.1)
> 
> #Obtaining deviance residuals directly
> rd.check=-sqrt(2*abs(log(1-pi.hat)))
> rd.check[P==1]=sqrt(2*abs(log(pi.hat[P==1])))
> rd.check
         1          2          3          4          5          6          7 
 1.1038306  1.2892945 -1.2912991 -1.1479881 -1.1097832  1.2282009 -1.1686771 
         8          9         10         11         12         13         14 
 1.1931365  1.2892945  1.1903473 -0.9821829 -1.1756061 -1.0801690  1.0943912 
        15         16         17         18         19         20         21 
-1.3099491  1.0333213  1.1378369 -1.2245380 -1.2485566  1.0943912 -1.1452410 
        22         23         24 
 1.2352561  1.1543163 -1.1617642 
> 

也可以在此处查看Poisson案例。