为什么通过Bartlett检验诊断的球形度表示PCA不适当？

我了解Bartlett检验与确定您的样本是否来自方差相等的总体有关。

如果样本来自方差相等的总体，则我们无法拒绝检验的原假设，因此，主成分分析是不合适的。

我不确定这种情况（具有同方差数据集）的问题在哪里。拥有所有数据的基础分布都相同的数据集会出现什么问题？如果存在这种情况，我只是没什么大不了的。为什么这会使PCA不合适？

我似乎无法在网上找到任何好的信息。有人解释这一测试为何与PCA有关的经验吗？

回答问题标题。

通常在PCA或因子分析之前进行的Bartlett球形度检验，测试数据是否来自协方差为零的多元正态分布。（请注意，测试的标准渐近版本对多元多元正态性完全没有鲁棒性。人们可能会在非高斯云中使用自举法。）等价地说，零假设是总体相关矩阵是恒等矩阵或协方差矩阵是对角一。$^1$

现在想象一下，多元云是完美的球形（即其协方差矩阵与单位矩阵成比例）。那么1）任何任意尺寸都可以充当主要组件，因此PCA解决方案不是唯一的；2）所有分量具有相同的方差（特征值），因此PCA不能帮助减少数据。

想象一下第二种情况，其中多元云严格沿变量轴呈椭圆形（即其协方差矩阵为对角线：除对角线外所有值均为零）。那么PCA变换隐含的旋转将为零；主要成分是变量本身，仅重新排序并有意地符号还原。这是一个微不足道的结果：无需PCA即可丢弃一些弱尺寸以减少数据。

$^1$以巴特利特（Bartlett）的名字命名统计中的几项（至少我认为是三项）测试。这里我们说的是巴特利特的球形度测试。

看来有两个测试称为Bartlett测试。您引用的样本（1937）确定样本是否来自方差相等的总体。另一个似乎是测试一组数据的相关矩阵是否为单位矩阵（1951）。更有意义的是，您不会对具有身份相关矩阵的数据运行PCA，因为您将只获取原始变量，因为它们已经不相关了。比较，例如

• http://en.wikipedia.org/wiki/Bartlett's_test到
• https://personality-project.org/r/html/cortest.bartlett.html。