条件同方差与异方差

摘自《计量经济学》，作者：Fumio Hayashi（第一章）：

无条件同方性：

• 误差项E（εᵢ²）的第二矩在整个观测中都是恒定的
• 在所有观察结果中，函数形式E（εᵢ²| xi）是恒定的

有条件的同方性：

• 解除了误差项E（ε）²）的第二矩在整个观测值中恒定的限制
  • 因此，条件二阶矩E（εᵢ²| xi）可能由于对xᵢ的依赖而在观测中有所不同。

所以，我的问题是：

有条件的同方性与异方性有何不同？

我的理解是，当第二个时刻的观测值不同时，存在异方差。

我首先要引用林志的话，以帮助任何想发表评论的人。我试图保留格式和原始方程式数字。

从Hayashi第126页的2.6节开始引用：

有条件与无条件同方性

条件同方差假设为：

$$\begin{align*} \tag{2.6.1} E(\epsilon_i^2|\mathbf{x}_i)=\sigma^2>0. \end{align*}$$ $E(\epsilon_i^2)$$\sigma^2$

结束报价。

$$\begin{align*} \tag{1.1.12} E(\epsilon_i^2|\mathbf{X})=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,\ldots,n) \\\ \tag{1.1.17} E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,.\ldots,n). \end{align*}$$

$(\epsilon_i,\mathbf x_i)$$i$$E(\epsilon_i^2)$$i$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$$i$$i$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$$i$$\mathbf x_i$

[Hayashi不再提供更多引述，只是我对这一点的理解。]

$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2$$E(\epsilon_i^2)=E[E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)]=E[\sigma^2]=\sigma^2$

$\mathbf x_i$$\epsilon_i$$\sigma^2$$E(\epsilon_i^2)=\sigma^2$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)\ne\sigma^2$; 示例2.6（第127页）对此进行了说明。它也可能回答同位和异方差重叠的问题：它给出了一个示例，其中存在无条件的同方差和条件的同方差。

这些概念令人困惑，尤其是在没有大量有条件期望/分布的经验的情况下，但是希望这可以增加一些清晰度（以及以后任何讨论的原始材料）。