情报平方计分和获胜者确定

有一个称为“情报平方”的NPR播客。每集都播放有关一些争议性声明的现场辩论，例如“第二修正案不再相关”或“对大学校园采取平权行动弊大于利”。四名代表辩论，两名代表议案，两名反对。

为了确定哪一方获胜，在辩论前后都要对观众进行投票。从绝对百分比上获得更多收益的一方被视为获胜者。例如：

          For    Against  Undecided
 Before   18%      42%       40%
 After    23%      49%       28%

 Winner: Against team -- The motion is rejected.

直觉上，我认为这种衡量成功的方法是有偏见的，我想知道如何以公平的方式对听众进行投票以确定赢家。

我立即在当前方法中看到了三个问题：

• 在极端情况下，如果一方以100％达成共识，那么他们只能平局或输球。

• 如果没有未定的决定，则初始协议较少的那一侧可被视为具有较大的样本量，可从中进行抽取。

• 未定的一面不太可能真正地未定。如果我们假设双方是两极分化的，那么如果我们被迫放弃一方，似乎我们先前对未定人群的信念应该是。$\text{Beta}(\text{# For}, \text{# Against})$

鉴于我们必须依靠受众调查，是否有更公平的方法来判断谁获胜？

您的担心是有根据的。不幸的是，有许多可辩护的，客观的方法来解决这一问题，并且它们可能彼此冲突。 以下分析提供了一个框架，用于确定您可能希望如何评估结果，并显示结论如何取决于您对情况动态的假设。

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我们对最初的受众几乎没有控制权。它可能并不代表我们更感兴趣的更大的人群（例如所有观众）。因此，绝对的意见数字是没有多大关系的：重要的是利率的人们可能会改变他们的想法。（从这些比率，我们可以估计出听众的数量如何变化，即使给出了有关他们最初意见的信息，即使听众中的观点比例与接受调查的演播室听众的比例不同。

因此，结果包括六种可能的观点变化和六种相关的变化率：

• 我将用为其索引的那些“ for” 可以改变主意，并最终以速率与（具有索引）对抗，或者最终以速率 未确定（具有索引）。2 一12 3 一$1,$$2$$a_{12}$$3$$a_{13}$

• $a_{21}$$a_{23}$

• $a_{31}$$a_{32}.$

$a_{ii}$$i=1,2,3,$$i$

$\mathbb{A}=(a_{ij})$$x=(0.18, 0.42, 0.40)$$y=(0.23, 0.49, 0.28) = \mathbb{A}x$。这是（受约束的）线性方程的欠定系统，在得出解中具有极大的灵活性。让我们看一下三种解决方案。

解决方案1：最少更改

$\mathbb{A}$

$$\mathbb{A}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0.125 \\ 0 & 1 & 0.175 \\ 0 & 0 & 0.700 \\ \end{array} \right).$$

$12.5\%$$17.5\%$

当您认为最初的派系坚强地接受了他们的意见，并且唯一可能改变主意的人属于最初宣布为不确定的派系时，这种模型将是合适的。

解决方案2：最小二乘

$\mathbb{A}$$L^2$$||\mathbb{A}||_2^2 = tr(\mathbb{A}^\prime \mathbb{A})$$a_{ii}$

$$\mathbb{A} = \left( \begin{array}{ccc} 0.28 & 0.22 & 0.22 \\ 0.41 & 0.51 & 0.50 \\ 0.31 & 0.27 & 0.28 \\ \end{array} \right).$$

$22\%$$27\%$$41\%$$31\%$$50\%$ $22\%$

$1/3$

解决方案3：罚最小二乘

$\mathbb{A}$$\omega_i$$\mathbb{A}$

$$||\mathbb{A}||_2^2 - \omega_1 a_{11} - \omega_2 a_{22} - \omega_3 a_{33}$$

$\omega = (1,1,1/2)$

$$\mathbb{A} = \left( \begin{array}{ccc} 0.91 & 0 & 0.17 \\ 0.03 & 0.93 & 0.23 \\ 0.06 & 0.07 & 0.60 \\ \end{array} \right).$$

$40\%$$17\%$$23\%$

摘要

在这种观点转变的过渡模型中，大多数解决方案方法表明在此特定示例中“反对”方面是赢家。没有任何有关变革动态的强烈意见，表明“反对”一方获胜。

$(.20,.60,.20)$$(.30,.40,.30)$$20\%$$30\%$$40\%$$30\%$。但是，（四舍五入的）最小二乘解至少表明，有一种可能的方式是辩论稍微偏向另一方！它是

$$\mathbb{A} = \left( \begin{array}{ccc} 0.32 & 0.29 & 0.32 \\ 0.36 & 0.42 & 0.36 \\ 0.32 & 0.29 & 0.32 \\ \end{array} \right).$$

$36\%$$29\%$$(36\%)$ $32\%$

附加评论

$\mathbb{A}$

$\mathbb{A}$

$$\begin{equation} p(\textrm{for}_\textrm{after},\textrm{against}_{\textrm{after}},\textrm{undecided}_{\textrm{after}} \mid \textrm{for}_\textrm{before},\textrm{against}_{\textrm{before}},\textrm{undecided}_{\textrm{before}}) \end{equation}$$ $0.5$对于两个团队。请注意，决策规则仍然有多种选择，因为结果空间是二维的，但是，如果我们相信预测模型，那么就竞赛的公平性而言这无关紧要。例如，如果辩论后的赞成/反对比率超过其预测的中位数（以投票前为条件），则可以仅判定该小组获胜。

建立预测模型的想法

$$\begin{align} (P(\textrm{for} \mid \textrm{for before}),P(\textrm{ud} \mid \textrm{for before}),P(\textrm{ag} \mid \textrm{for before})) & \sim Dir(a_{ff},a_{uf},a_{af}) \\ (P(\textrm{for} \mid \textrm{ud before}),P(\textrm{ud} \mid \textrm{ud before}),P(\textrm{ag} \mid \textrm{ud before})) & \sim Dir(a_{fu},a_{uu},a_{au}) \\ (P(\textrm{for} \mid \textrm{ag before}),P(\textrm{ud} \mid \textrm{ag before}),P(\textrm{ag} \mid \textrm{ag before})) & \sim Dir(a_{fa},a_{ua},a_{aa}), \end{align}$$ $P$$a$$a$$a$$a_{ff}=a_{aa}$$a_{fu}=a_{au}$

$a$