伊辛模型的吉布斯抽样

作业问题：

考虑一维伊辛模型。

令。为-1或+1 $x = (x_1,...x_d)$ $x_i$

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

设计一个gibbs采样算法，以大致根据目标分布生成样本 $\pi(x)$ 。

我的尝试：

随机选择值（-1或1）以填充向量 $x = (x_1,...x_{40})$ 。所以 $x = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1,...,1)$ 。所以这是 $x^0$ 。

因此，现在我们需要继续进行第一次迭代。我们必须分别为绘制40个不同的x $x^1$ 。所以...

从绘制 $x_1^1$ $\pi(x_1 | x_2^0,...,x_{40}^0)$

从绘制 $x_2^1$ $\pi(x_2 | x_1^1, x_3^0,...,x_{40}^0)$

从绘制 $x_3^1$ $\pi(x_3 | x_1^1, x_2^1, x_4^0,...,x_{40}^0)$

等等..

因此，令我困扰的部分是我们实际上是如何从条件分布中得出的。如何 $\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$ 开始发挥作用？也许举一个例子就可以解决问题。

self-study sampling mcmc gibbs

— 科林
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首先看这种情况。删除不依赖术语。 $x_1$

π (x_{1} ∣ x_{2}, \dots, x_{d}) = \frac{π (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{d})}{π (x_{2}, \dots, x_{d})} \propto e^{x_{1} x_{2}}

$\pi(x_1\mid x_2,\dots,x_d) = \frac{\pi(x_1,x_2,\dots,x_d)}{\pi(x_2,\dots,x_d)} \propto e^{x_1 x_2}$

P (X_{1} = - 1 ∣ X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \frac{e^{- x_{2}}}{C}

$P(X_1=-1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{-x_2}}{C}$

P (X_{1} = 1 ∣ X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \frac{e^{x_{2}}}{C}

$P(X_1=1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{x_2}}{C}$

\frac{e^{- x_{2}}}{C} + \frac{e^{x_{2}}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_{2}

$\frac{e^{-x_2}}{C} + \frac{e^{x_2}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_2$

x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

将其概括为（注意差异；请参见下面的Ilmari评论）。 $x_2,\dots,x_{40}$

您可以使用Ising的分析结果来检查模拟吗？

— 禅
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因此，它最终仅取决于向量中紧接其前的值，即，唯一依赖于是，唯一依赖于就是，等等。的？由于条件分布似乎仅适用于至39，因此我们该如何绘制？

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x_{23}

$x_{23}$

x_{24}

$x_{24}$

x_{40}

$x_{40}$

i = 1

$i=1$

— 科林2014年

@ user2079802：否，对于至您在指数中得到两个项：。但是，对于进行评估仍然很容易。

x_{2}

$x_2$

x_{39}

$x_{39}$

π (x_{i} ∣ x_{1}, \dots, x_{i - 1}; x_{i + 1}, \dots, x_{d})

$\pi(x_i\mid x_1,\dotsc,x_{i-1}; x_{i+1},\dotsc,x_d)$

\propto

$\propto$

\exp (x_{i - 1} x_{i} + x_{i} x_{i + 1})

$\exp(x_{i-1} x_i+x_i x_{i+1})$

x_{i} = \pm 1

$x_i=\pm1$

— Ilmari Karonen 2014年