独立随机变量的功能

是否声称独立随机变量的功能本身是独立的，正确的？

我已经看到该结果通常在某些证明中被隐式使用，例如，在样本均值和正态分布的样本方差之间的独立性证明中，但我无法为其找到理由。似乎有些作者认为是给定的，但我不确定情况总是如此。

独立性的最一般和抽象定义使此断言变得微不足道，同时提供了重要的限定条件：两个随机变量是独立的，意味着它们生成的sigma-代数是独立的。因为由sigma代数的可测量函数生成的sigma代数是子代数，所以那些随机变量的任何可测量函数具有独立的代数也是重要的。

（当一个函数不可测量时，它通常不会创建新的随机变量，因此独立的概念甚至都不适用。）

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让我们解开定义，看看这有多简单。回想一下，随机变量是在“样本空间”（通过概率研究的结果集）上定义的实值函数。$X$$\Omega$

1. 随机变量通过其值位于实数的各种间隔内的概率进行研究（或更一般地，以简单的方式在间隔之外构造的集合：这是Borel可测量的实数集）。$X$

2. 与任何Borel可测集是事件由所有结局组成，其中位于。$I$ ω X （ω ）$X^{*}(I)$$\omega$$X(\omega)$$I$

3. 生成的西格玛代数由所有此类事件的集合确定。$X$

4. 天真的定义说两个随机变量和 “在它们的概率相乘时” 是独立的。也就是说，当是一个Borel可测集，而是另一个时，则$X$$Y$$I$$J$

   $\Pr(X(\omega)\in I\text{ and }Y(\omega)\in J) = \Pr(X(\omega)\in I)\Pr(Y(\omega)\in J).$

5. 但是在事件（和sigma代数）的语言中，这与

   $\Pr(\omega \in X^{*}(I)\text{ and }\omega \in Y^{*}(J)) = \Pr(\omega\in X^{*}(I))\Pr(\omega\in Y^{*}(J)).$

现在考虑两个函数并假设和是随机变量。（圆是函数组成：。这就是表示“随机变量的函数”的意思。）注意-只是基本的集合论 ˚F ∘ X 克∘ ý （˚F ∘ X ）（ω ）= ˚F （X （ω ））$f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f \circ X$$g\circ Y$$(f\circ X)(\omega) = f(X(\omega))$$f$

$$(f\circ X)^{*}(I) = X^{*}(f^{*}(I)).$$

换句话说，由生成的每个事件（位于左侧）自动是由生成的事件$f\circ X$$X$ ˚F ∘ X 克∘ ÿ（如右侧形式所示）。因此，（5）会自动保持和：无需检查！$f\circ X$$g\circ Y$

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注意：您可以在任何地方用“的值”替换“实际值”，而无需进行任何实质性更改。这涵盖了向量值随机变量的情况。$\mathbb{R}^d$

考虑以下“欠高级”证明：

令，其中是独立的随机变量，而是可测量的函数。然后： 使用独立性 X ，ÿ ˚F ，克P { ˚F （X ）≤ X  和  克（ÿ ）≤ ÿ $X:\Omega_X\to\mathbb{R}^n,Y:\Omega_Y\to\mathbb{R}^m,f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$$X,Y$$f,g$

$$P\{f(X)\leq x \text{ and } g(Y)\leq y\}\\=P(\{f(X)\leq x\}\cap\{g(Y)\leq y\})\\=P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\}).$$ 和 ÿ， P （{ X ∈ { 瓦特∈ [R Ñ：˚F （瓦特）≤ X } } $X$$Y$ $$P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\})=\\=P\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\cdot P\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\} \\=P\{f(X)\leq x\}\cdot P\{g(Y)\leq y\}.$$

这样做是为了通知该组 因此对X有效的属性被扩展为f （X ），并且对于

$$\{f(X)\leq x\}\equiv\{w\in\Omega_X:f(X(w))\leq x\}=\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\},$$ $X$$f(X)$。$Y$

$g(X)$$h(Y)$$g$$h$$X$$Y$

请注意，此结果实际上是非常直观的，而不是替代其他方法，而是作为以前的出色解答的补充。

$X$$Y$$X$$Y$