是否可以对

首先，我的意思是说，通过分析积分，可以解决积分问题，而不是像数值分析（例如梯形，Gauss-Legendre或Simpson规则）来解决这个问题？

我有一个函数 $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}f(x) = x g(x; \mu, \sigma)$ 其中

g (x; μ, σ) = \frac{1}{σ x \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}}

$g(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2}$ 是对数正态分布的概率密度函数，其中参数

μ

$\mu$ 和

σ

$\sigma$ 。在下面，我将把符号缩写为

g (x)

$g(x)$ 并将

G (x)

$G(x)$ 用作累积分布函数。

我需要计算积分

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_{a}^{b} f(x) \,\rd x \>.$

目前，我正在使用Gauss-Legendre方法进行数值积分。因为我需要多次运行，所以性能很重要。在研究优化数值分析/其他部分之前，我想知道是否有任何积分规则可以解决这个问题。

我尝试应用“按部分积分”规则，然后我又陷入了困境，

$\int u \,\mathrm{d}v = u v - \int v \mathrm{d}u$ 。
$u=x \implies \rd u = \rd x$
$\rd v = g(x) \rd x \implies v = G(x)$
$u v - \int v \rd x = x G(x) - \int G(x) \rd x$

我陷入困境，因为我无法评估 $\int G(x) \rd x$ 。

这是针对我正在构建的软件包的。

distributions lognormal

— 罗什
source

@Rosh，通过表示概率密度？

l o g n o r m a l

$lognormal$

— mpiktas 2011年

这可以表示为两个正常cdfs之差的恒定乘积。使用W. Cody有理Chebyshev逼近可以有效地计算正常cdfs。您不需要，而且几乎毫无疑问不希望使用数字积分替代方案。如果您需要更多详细信息，我可以发布它们。

— 主教

@mpiktas，是的，对数正态是概率密度函数，对数正态CDF是累积密度函数。

— Rosh

@Rosh具有对数正态分布，表示是正态分布。因此，替代在原来的积分。整数是一个指数，其参数是的二次函数。完成正方形后，它会变成普通PDF的倍数，因此您的答案将以普通CDF和原始端点的指数表示。正常CDF有很多很好的近似值（误差函数的倍数）。

x

$x$

\log (x)

$\log(x)$

x = \exp (y)

$x = \exp(y)$

y

$y$

— whuber

是的，@ whuber和我正在描述同一件事。您应该得到类似，其中和和表示普通cdf。请注意，根据，，和，有一些方法可以重写此表达式以使其在数值上更稳定。

e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α))

$e^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2} (\Phi(\beta) - \Phi(\alpha))$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu+\sigma^2))/\sigma$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

a

$a$

b

$b$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— 主教

简短的回答：不，至少在基本功能方面是不可能的。但是，存在非常好的（且相当快！）数值算法来计算这样的数量，在这种情况下，它们应优于任何数值积分技术。

正常CDF感兴趣的数量

您感兴趣的数量实际上与对数正态随机变量的条件均值密切相关。也就是说，如果以参数和分布为对数正态分布，则使用您的符号 $X$ $\mu$ $\sigma$

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}} d x = P (a \leq X \leq b) E (X ∣ a \leq X \leq b) .

$\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \int_a^b f(x) \rd x = \int_a^b \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2} \rd x = \Pr(a \leq X \leq b) \e(X \mid a \leq X \leq b) \>.$

要获得此积分的表达式，请代入。乍一看，这似乎没有任何动机。但是，请注意，使用此替换并通过简单地更改变量，我们得到其中和。 $z = (\log(x) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$ $x = e^{\mu + \sigma^2} e^{\sigma z}$

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \int_{α}^{β} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} z^{2}} d z,

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} z^2} \rd z \> ,$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

因此，其中是标准正态累积分布函数。

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α)),

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \big( \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) \big) \>,$

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- z^{2} / 2} d z

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \rd z$

数值近似

人们通常说不存在已知封闭形式表达式。但是，从1800年代初期的Liouville定理可以得出更强的结论：此函数没有闭合形式的表达式。（有关这种特殊情况的证明，请参阅Brian Conrad的文章。） $\Phi(x)$

因此，我们只能使用数值算法来近似所需的数量。可以通过WJ Cody's算法在IEEE双精度浮点内完成此操作。这是解决此问题的标准算法，并且利用相当低阶的有理表达式，它也非常有效。

这里是讨论近似值的参考：

WJ Cody，误差函数的有理切比雪夫近似， 数学。比较 ，1969年，第631--637页。

它也是MATLAB和等中使用的实现，以防那些使得更容易获得示例代码的情况。 $R$

如果您有兴趣，这是一个相关的问题。

— 红衣主教
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