您观察到n次投掷k个头。硬币公平吗？

在一次采访中我被问到。有没有“正确”的答案？$(n, k) = (400, 220)$

假设抛掷是同性的，正面的概率为。那么，在400次抛掷中头部的分布应该接近于法线（200，10 ^ 2），这样220头部的平均值就会偏离平均值2个标准差。观察到这种结果的可能性（即，在任一方向上均距平均值多2个SD）略小于5％。$p=0.5$

面试官告诉我，基本上，“如果我观察到均值> = 2 SD，就会得出结论，其他事情还在继续。我敢打赌这枚硬币是公平的。” 这是合理的-毕竟，这就是大多数假设检验所做的。但这就是故事的结局吗？对于面试官来说，这似乎是“正确”的答案。我要问的是，有些细微差别是否合理。

我忍不住指出，在这种抛硬币的情况下，判定硬币不公平是一个奇怪的结论。我说对吗？我会在下面解释。

首先，我-我也会假设大多数人-对硬币有很深的了解：它们很可能是公平的。当然，这取决于我们所说的公平-一种可能性是将“公平”定义为“具有接近0.5（例如介于0.49和0.51之间）的可能性”。

（你也可以定义“公平”为指的正面的概率正好是0.50，在这种情况下，有一个完全公平的硬币现在似乎相当取消可能。）

您的先验可能不仅取决于您对硬币的一般看法，还取决于上下文。如果您从自己的口袋里掏出硬币，那么您几乎可以肯定这是公平的。如果您的魔术师朋友从他的钱包中拿出硬币，那么您以前的朋友可能会加大双头硬币的重量。

无论如何，要想出一个合理的先验就很容易了：（i）使硬币很可能是公平的；（ii）即使观察了220个头，也使后验非常相似。然后，您会得出结论，尽管观察到结果均值2 SD，但该代币很可能是公平的。

实际上，您还可以构建一些示例，其中在400次抛掷中观察220个头，这会使您的后方对硬币保持更大的重量，例如，如果所有不公平的硬币的正面概率都为。$\{0, 1\}$

谁能为我阐明一下？

在写完这个问题之后，我想起了我以前听说过这种大局的情况，这不是林德利的“悖论”吗？

Whuber在评论中加入了一个非常有趣的链接：您可以装模，但不能偏向硬币。从第3页：

不能说硬币的正面概率为p，因为硬币可以完全由抛掷的方式确定，除非将硬币抛向空中并快速旋转并抛向空中。无弹跳，在这种情况下，p = 1/2。

太酷了！这以一种有趣的方式与我的问题联系在一起：假设我们知道硬币被“迅速旋转抛向空中，并被弹跳而没有跳动”。那么我们绝对不应该拒绝硬币是公平的假设（这里的“公平”现在意味着“以上述方式抛硬币时，p = 1/2”），因为我们有效地拥有了将所有概率置于硬币是公平的。也许在某种程度上可以证明为什么在观察到220个头之后我不愿意拒绝null。

解决此问题的标准贝叶斯方法（无正态近似）是明确声明您的先验，并将其与您的可能性（Beta分布）结合起来。然后将您的后视点积分约50％，比如说两个标准差，或者说是49％–51％或您喜欢的任何东西。

如果您先前的信念在[0,1]上是连续的，例如Beta（100,100）（这使大量质量的硬币大致上是公平的），那么该硬币是公平的概率为零，因为可能性也是连续的[0 ，1]。

即使硬币是公平的概率为零，您通常也可以在偏斜后验时回答您要回答的任何问题。例如，给定硬币概率的后验分布，赌场边缘是多少？

假设是伯努利分布，在这种情况下是抛硬币。

显然，这是一个二项式分布，并且确实接近$B(n=400,p=0.5)$$N(\mu=200,\sigma^2=100)$

$k$$95\%$$B(n=400,p=0.5)$$p$$B(n=400,p=0.5,k=220)$

$p=0.5$$\pi(p=0.5)=0.5$$\pi(p\neq0.5)=0.5$

$\pi(0.49\leq p\leq0.51)=0.9$$\pi(p<0.49 \cup p>0.51)=0.1$$p$

$P(0.49\leq p\leq0.51|k=220)$

$p$$N(\mu=0.5,\sigma^2=0.25)$$\sigma^2=0.1$

$p$$f(p|k=220)$

我的声誉不足以让我在“问题”下写评论。取而代之的是我要在这里写一些关于“ 你不能偏向硬币”的文章。@阿德里安

这就是我们所拥有的

1. $B(n=400,k=220,p=\theta)$
2. 理论和实验研究你不能偏向硬币

这是我们的假设

$H_0:$$\hat\theta=0.5$

$H_1$

这是我们的结果

1. $H_0$
2. $H_1$

$p$$H_0$$H_1$

否则，我们将在此处为假设检验创建双重标准。我们不能接受抛硬币公平，实验数据正确记录的假设。

说硬币的正面概率为p是没有道理的

我们有实验结果来支持这一假设。

$p$$N(\mu=0.5,\sigma^2)$

$\sigma^s$