包含偏度和峰度的分布函数的封闭形式公式？

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有这样的公式吗？给定一组已知或可以测量其均值，方差，偏度和峰度的数据，是否可以使用一个公式来计算假定来自上述数据的值的概率密度？

— babelproofreader
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对于任何正态分布（高斯分布），偏度是因为它是对称的，并且从正态分布的性质来看，峰度也为。对于其他分布，均值，方差，偏度和峰度不足以定义分布，尽管通常可以找到示例。

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$0$

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— 亨利

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@Henry实际上，在大多数具有参数分布族中，前四个矩（可以从均值，方差，偏度和峰度中恢复）通常足以识别该分布。

k

$k$

k \leq 4

$k \le 4$

— whuber

@whuber：在我看来，这有点循环：将分布限制在一个有四个或更少参数的家庭中，因为知道分布的四个统计信息通常可以确定这些参数。我同意。但我的观点之一是，不受限制地存在分布的可能性不同，即使在总体上相同的前四个时刻，在特定点处的概率密度也有很大变化。

— 亨利

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亨利，我明白你的意思了：“其他分布”是广义上的意思，而我的回答是指统计学中常用的分布（很少有四个以上的参数）。我认为您的遗书-“尽管通常可以找到例子”-可能暗示了我的狭义解释。

— ub

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有许多这样的公式。卡尔·皮尔森（Karl Pearson）于1895年进行了首次成功的尝试，正是该方法成功地解决了这个问题，最终形成了皮尔森分配系统。可以通过均值，方差，偏度和峰度参数化该族。作为常见的特殊情况，它包括正态分布，Student-t，卡方，反伽玛分布和F分布。 Kendall＆Stuart第1卷提供了详细信息和示例。

— ub
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这听起来像是一种“矩匹配”的方法，可以使分布适合数据。通常认为这不是一个好主意（约翰·库克博客文章的标题是“统计死胡同”）。

— 破旧的
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D'Agostino的K2检验将告诉您样本分布是否来自基于样本的偏度和峰度的正态分布。

如果要进行假设非正态分布的测试（可能具有较高的偏度或峰度），则需要弄清楚什么是正态分布。您可以查看偏态正态分布和广义正态分布。如果执行此操作，则也会考虑其他发行版。

— 托马斯·莱文
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