如何通过箱线图评估偏度？

如何查看通过此数据构建的箱线图来确定偏度：

340、300、520、340、320、290、260、330

一本书说：“如果下四分位数比中四分位数比中四分位数更远，则分布出现负偏斜。” 其他一些消息来源也大致相同。

我使用R建立了箱形图。如下所示：

我认为它是负偏斜的，因为较低的四分位数距离中位数比较高的四分位数更远。但是问题是当我使用另一种方法确定偏度时：

平均值（337.5）>中位数（325）

这表明数据正偏。我错过了什么？

偏度的一种度量基于均值中位数- 皮尔森的第二偏度系数。

偏度的另一种度量基于相对四分位数差异（Q3-Q2）与（Q2-Q1）的比率

$u=0.25$

当然，最常见的度量是第三时刻的偏度。

这三项措施没有必要保持一致。它们中的任何一个都可能不同于其他两个。

我们所谓的“偏斜度”是一个有点滑溜且定义不清的概念。请参阅此处以获取更多讨论。

如果我们使用普通qqplot查看您的数据：

[在那里标记的线仅基于前6个点，因为我要讨论后两个与那里的模式的偏差。]

我们看到最小的6点几乎完全位于直线上。

然后，第7个点位于该线的下方（相对于相应的第二个点，从左端开始更靠近中间），而第8个点位于上方。

第七点表明轻微的左偏斜，最后一个是较强的右偏斜。如果您忽略任一点，则偏斜的印象完全取决于另一点。

如果我有说这是一个或另一个，我会称其为“右偏”，但我还要指出的是，印象完全是由于这一非常大的影响。没有它，就没什么好说的了。（另一方面，如果没有第7点，则显然不会偏斜。）

当我们的印象完全由单点决定并且可以通过删除一个点来翻转时，我们必须非常小心。这不是继续的基础！

我以使离群值“离群”的是模型为前提（关于一个模型的离群值在另一种模式下可能是很典型的）。

我认为，在正态（均值上方3.72 sds）的0.01上百分数（1/10000）处观察到的值与法线模型同样离群，因为在指数分布的0.01上百分位数处观察到的是指数模型。（如果我们通过自己的概率积分变换对分布进行变换，则每个分布将具有相同的统一性）

要查看将箱线图规则应用于中等偏斜分布的问题，请模拟指数分布中的大样本。

例如，如果我们模拟一个正常大小为100的样本，则每个样本的平均离群值均小于1。如果我们使用指数模型，则平均数约为5。但是，除非我们与（例如）正常模型进行比较，否则没有理由说更高比例的指数值“在外”。在特定情况下，我们可能有特定的原因要采用某种特定形式的离群规则，但没有通用规则，这使我们有了通用原则，例如我在本小节开始的原则-根据自己的观点来对待每个模型/分布（如果值对于模型而言并非异常，为什么在这种情况下将其称为离群值？）

要转到标题中的问题：

尽管它是一种非常粗糙的工具（这就是为什么我查看QQ图），但箱形图中有几种迹象表明偏斜-如果至少有一个点标记为离群值，则可能（至少）有三个：

在此样本（n = 100）中，外部点（绿色）标记为极值，并且中值表示左偏斜。然后，围栏（蓝色）建议（与中位数结合使用）建议右偏斜。然后，铰链（四分位数，棕色）与中间值结合时，则显示出左偏斜。

如我们所见，它们不必保持一致。您将重点放在哪个方面取决于您所处的情况（以及您的喜好）。

但是，警告该箱线图的原始程度。朝向端的例子在这里，其中包括如何生成数据的描述- -给出具有相同的箱线图4个相当不同的分布：

如您所见，上述所有偏度指标都显示出非常对称的分布，并且显示出了完美的对称性。

-

让我们从“鉴于这是一个箱形图，将一个点标记为离群值的情况下，您的老师期望得到的答案”的角度来看待这一点。

我们首先要回答“他们希望您评估不包括该点的偏斜度，还是将其包含在样本中？”。有些人会排除它，然后从剩下的东西中评估偏度，就像jsk在另一个答案中所做的那样。尽管我对该方法的各个方面提出了异议，但我不能说这是错误的-取决于情况。其中一些会包含它（尤其是因为从正态性得出的规则而将样本中的12.5％排除在外是一个很大的步骤*）。

*想象一下，除了最右边的尾巴之外，人口分布是对称的（我在回答这一问题时构建了这样的分布-正常，但最右边的尾巴是帕累托-但我的回答中没有出现）。如果我绘制大小为8的样本，则通常有7个观测值来自看似正常的部分，其中1个观测值来自上尾巴。如果在这种情况下排除标记为boxplot-outliers的点，则排除的是告诉我们它实际上是歪斜的点！当我们这样做时，在那种情况下保留的截断分布是左偏斜的，我们的结论与正确的结论相反。

不，您什么都没错过：您实际上看到的不仅仅是所展示的简单摘要。 这些数据既有正偏也有负偏（在“偏度”的意义上暗示了数据分布中的某种形式的不对称）。

约翰·图基（John Tukey）通过他的“ N数摘要”描述了一种系统的方式来探索批量数据中的不对称性。箱线图是5位数摘要的图形，因此适合该分析。

$M$$H^{+}$$H^{-}$$X^{+}$$X^{-}$$T_i^{+}$$i$$T_i^{+}$$T_i^{-}$$M = M^{+}=M^{-}$$(T_i^{+} + T_i^{-})/2$$i$

要将这个想法应用到箱线图中，只需绘制每对对应零件的中点：中位数（已经存在），铰链的中点（盒子的末端，以蓝色显示）和极值的中点（以红色显示）。

在此示例中，中间铰链的值与中位数相比较低，这表明该批中间的文本略有负偏斜（从而证实了问题中引用的评估，同时与此同时，将其范围适当地限制在该批中间），而中值（更高）的较高值表明该批次的尾部（或至少是其末端）正偏斜（尽管经过仔细检查，这是由于单个异常值较高）。尽管这几乎是一个简单的例子，但与单个“偏度”统计量相比，这种解释的相对丰富性已经揭示了这种方法的描述能力。

通过少量练习，您不必绘制这些中间统计量：您可以想象它们在哪里，并直接从任何箱线图中读取所得的偏度信息。

$M$$H$$E$$D$$X$$i=1, 2, 3, 4, 5$。下图的左图是这些配对统计数据的中点的诊断图。从加速的坡度来看，很明显，当我们伸向尾巴时，数据正变得越来越偏斜。

中间和右边的图显示（数据的平方根，而不是中位数统计的平方根）和（以10为底）对数的平方根。根值的相对稳定性（请注意相对较小的垂直范围和中间倾斜的水平）表明，这批219个值在中部和尾部的所有部分都变得近似对称，几乎到将高度重新表示为平方根时的极端。这一结果是继续对这些高度的平方根进行进一步分析的强大基础（几乎是令人信服的基础）。

除其他外，这些图揭示了一些关于数据不对称性的定量信息：在原始尺度上，它们立即揭示了数据的不同偏斜度（对于使用单一统计量表征偏斜度的效用产生了相当大的怀疑），而平方根刻度表示，数据在中间近似对称-因此可以用五位数的摘要或等效的箱图简洁地进行总结。偏度再次在对数刻度上显着变化，这表明对数太“强”了，无法重新表达这些数据。

将箱形图推广到七，九和更多数字的摘要很容易得出。Tukey称它们为“示意图”。如今，许多情节都达到了类似的目的，包括诸如QQ情节之类的备用情节和诸如“豆情节”和“小提琴情节”之类的相对新颖的情节。（甚至可以为此目的使用最低的直方图。）使用这些图中的点，可以以详细的方式评估不对称性，并对重新表达数据的方式进行类似的评估。

平均值小于或大于中位数是捷径，通常只要不存在异常值，便可以确定倾斜的方向。在这种情况下，分布出现负偏斜，但由于离群值，均值大于中值。