如何使用family = Gamma解释GLM中的参数

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我对带有伽玛分布因变量的GLM的参数解释有疑问。这是R通过日志链接返回给我的GLM的结果：

Call:
glm(formula = income ~ height + age + educat + married + sex + language + highschool, 
    family = Gamma(link = log), data = fakesoep)

Deviance Residuals: 
       Min        1Q    Median        3Q       Max  
  -1.47399  -0.31490  -0.05961   0.18374   1.94176  

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  6.2202325  0.2182771  28.497  < 2e-16 ***
height       0.0082530  0.0011930   6.918 5.58e-12 ***
age          0.0001786  0.0009345   0.191    0.848    
educat       0.0119425  0.0009816  12.166  < 2e-16 ***
married     -0.0178813  0.0173453  -1.031    0.303    
sex         -0.3179608  0.0216168 -14.709  < 2e-16 ***
language     0.0050755  0.0279452   0.182    0.856    
highschool   0.3466434  0.0167621  20.680  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for Gamma family taken to be 0.1747557)

Null deviance: 757.46  on 2999  degrees of freedom
Residual deviance: 502.50  on 2992  degrees of freedom
AIC: 49184

如何解释参数？如果我计算exp(coef())模型，则截距约为500。现在我相信，如果所有其他变量都保持不变，这并不意味着预期收入吗？由于平均值mean(age)约为2000。因此，我不知道如何解释协变量系数的方向和值。

r generalized-linear-model interpretation gamma-distribution

— gung-恢复莫妮卡
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如果所有其他变量都恰好为零（不仅仅是常数），则500接近预期收入-就像回归中一样。

— Glen_b-恢复莫妮卡2014年

@Glen_b当解释变量发生变化时，为什么系数的指数是对收入的乘法效应，为什么会有预期的收入？

— 榻榻米

正在讨论的情况是有条件的意思是，当所有解释变量为0

— Glen_b -Reinstate莫妮卡

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对数链接的伽马GLM规范与指数回归相同：

E [y | x, z] = \exp (α + β \cdot x + γ \cdot z) = \hat{y}

$E[y \vert x,z] = \exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z \right)=\hat y$

这意味着。那不是一个非常有意义的值（除非您事先将变量居中设置为均值零）。 $E[y \vert x=0,z=0]=\exp(\alpha)$

至少有三种方法来解释模型。之一就是采取衍生物的预期值的给出相对于： $y$ $x$ $x$

\frac{\partial E [y | x, z]}{\partial x} = \exp (α + β \cdot x + γ \cdot z) \cdot β = \hat{y} \cdot β

$\frac{\partial E[y \vert x,z]}{\partial x} = \exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z\right)\cdot \beta=\hat y \cdot \beta$

这个数量取决于和，这样你就可以在平均评价这一/中位数/模或代表值和，或取平均的在你的样品。这些都称为边际效应。这些导数仅对连续变量（如高度）有意义，并告诉您上的微小变化的累加效应。 $x$ $z$ $x$ $z$ $\hat y \cdot \beta$ $x$ $y$

如果是二进制的（如性别），则可以考虑计算有限差分： $x$

Ë [ÿ | ž ， X = 1个] - Ë [ÿ | ž ， X = 0] = 经验值 （ α + β + γ \cdot ž ） - 经验值 （ α + γ \cdot ž ） = 经验值 （ α + γ \cdot ž ） \cdot （ 经验值 （ β ） - 1个 ）

$E[y \vert z,x=1]-E[y \vert z,x=0]=\exp \left( \alpha + \beta +\gamma \cdot z\right) - \exp \left( \alpha +\gamma \cdot z\right)= \exp \left( \alpha +\gamma \cdot z\right) \cdot\left( \exp(\beta)-1 \right)$

因为很难想象性别会发生无限微小的变化，所以这更有意义。当然，您也可以使用连续变量来执行此操作。这些是单位变化而不是微小单位变化的累加效应。 $x$

第三种方法是对系数求幂。注意：

\begin{matrix} Ë [ÿ | ž ， X + 1个] & = 经验值 （ α + β \cdot （ X + 1个 ） + γ \cdot ž ） \\ = 经验值 （ α + β \cdot X + β + γ \cdot ž ） \\ = 经验值 （ α + β \cdot X + γ \cdot ž ） \cdot 经验值 （ β ） \\ = Ë [ÿ | ž ， X] \cdot 经验值 （ β ） \end{matrix}

$\begin{array} _E[y \vert z,x+1] &= \exp \left( \alpha + \beta \cdot (x+1) +\gamma \cdot z \right) \\ &=\exp \left( \alpha + \beta \cdot x+\beta +\gamma \cdot z \right)\\ &=\exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z \right)\cdot \exp(\beta) \\ &= E[y \vert z,x]\cdot \exp(\beta) \end{array}$

这意味着您可以乘法而不是加法解释指数系数。当改变1 时，它们会为您提供期望值的乘数。 $x$

— 迪米特里（Dimitriy V. Masterov）
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您能举例说明第二种解释吗？

— 榻榻米

@tatami我修复了二进制情况下的一个错误。现在更有意义了吗？

— Dimitriy V. Masterov

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首先，我将看一下残差以了解模型的拟合程度。如果可以，我将尝试使用其他链接函数，除非我有理由相信它确实来自伽玛分布。如果伽玛看起来仍然令人信服，那么我可以得出结论，统计学上有意义的术语是截距，身高，学历，性别和高中（标有三颗星的那些）。除非标准化（范围相同），否则他们之间不能说更多。

对评论的回应：我现在更好地理解了你的问题。您绝对可以做到！单位高度的增加会导致收入的相对变化（exp（0.0082530）-1〜= 0.0082530（使用exp x = 1 + x对小x的近似值）。很容易解释，不是吗？

— 埃姆雷
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因此，我实际上无法解释参数，例如，如果高度增加1，则收入增加xy？

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我相信现在我必须对它进行乘法解释：exp（Intercept）* exp（height）将是高度增加1个单位的收入。不过还是谢谢你！:)