如果“ .632规则”中的概率不相等怎么办？

此问题源于有关“ .632规则”的问题。我在编写时特别参考了user603的回答/表示，以简化事情。

该答案以大小为的样本开始并从集合（称为）N的不同项中进行替换。第样本与N 的特定元素不同的概率为 $n,$ $n$ $i^{th}$ $s_i$ $m$ $(1 - 1/n).$

在该答案中，N的所有元素都有被随机抽取的同等机会。

我的问题是：假设在上面的问题中要绘制的项目是按正态分布的。也就是说，我们将标准正态曲线从细分为，细分为（例如）100个等长子区间。N中的100个项目中的每一个都有被绘制的概率，该概率等于曲线在其相应间隔中所占的面积。 $Z = -4$ $Z = 4$

我的想法如下：

我的推理与链接答案中的推理类似。的概率，与 N的元素，是其中是绘制的概率 $s_i \ne m$ $m$ $P(s_i \neq m) = (1 - F_i)$ $F_i$ $s_i.$

特定元素m在大小为n的样本S中的概率为

P (m \in S) = 1 - P (m \notin S) = 1 - \prod_{1}^{n} P (s_{i} \neq m)

$P(m \in S) = 1 - P(m \notin S) = 1 - \prod_1^n P(s_i \neq m)$

= 1 - \prod_{1}^{n} (1 - F_{i}) .

$= 1 - \prod_1^n(1 - F_i).$

计算似乎表明，随着子间隔的长度变小，答案收敛到与第一种情况相同的数字（概率都相等）。 $s_i$

（对我而言）这似乎是违反直觉的，因为该构造似乎会抛出N的元素，而这些元素很少见，因此我希望数字小于.632。

而且，如果这是正确的，我想我们会

lim_{n \to \infty} \prod_{1}^{n} (1 - F_{i}) = lim (1 - 1 / n)^{n} = 1 / e,

$\lim_{n \to \infty} \prod_1^n(1 - F_i) =\lim (1- 1/n)^n = 1/e,$

我还不知道是对还是错。

编辑：如果是真的，可能会概括一些。

感谢您的任何见解。

probability sampling

— 丹尼尔
source

我刚刚问了关于数学SE的最后一个方程式（问题791114），因为我也对它的概括（如果有的话）感兴趣。

— 丹尼尔（Daniel）2014年

...简短的答案是，最后的等式对于行为良好的PDF是正确的，因此问题的答案是.632规则适用于各种基础分布。

— 丹尼尔（Daniel）2014年

我可以从其他站点获取其他人的答案并将其发布为我的吗？这就是为什么我发表简短评论。如果可以的话，也许有一种公认的方法可以做到这一点。

— 丹尼尔（Daniel）

当然可以，只需在某些时候提及源代码即可：)

— Firebug

@Firebug：您可以指向一个完成此操作的实例，以便了解您的意思吗？谢谢。

— 丹尼尔（Daniel）

这个问题问关于

\begin{matrix} (1) & = 1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i}) \end{matrix}

$= 1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\tag{1}$

随着增长和均匀收缩，使得（a）全部为非负数，并且（b）它们加总为1。（这些来自的构造和概率公理。） $n$ $F_i$ $F_i$

根据定义，该乘积是其对数的指数：

\prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i}) = \exp (\sum_{i = 1}^{n} \log (1 - F_{i})) .

$\prod_{i=1}^n(1 - F_i) = \exp\left(\sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right)\right).$

应用于泰勒定理（具有余数的拉格朗日形式）确定 $\log$

\log (1 - F_{i}) = - F_{i} - \frac{1}{2} ϕ_{i}^{2} \geq - F_{i} - \frac{1}{2} F_{i}^{2}

$\log\left(1-F_i\right) = -F_i - \frac{1}{2}\phi_i^2 \ge -F_i - \frac{1}{2}F_i^2$

对于一些在区间。换句话说，这些对数等于至多是一些术语至多倍。但是，当足够大以确保所有都小于给定的（由的均匀收缩确保的条件）时，则（b）表示因此 $\phi_i$ $[0, F_i]$ $-F_i$ $1/2$ $F_i^2$ $n$ $F_i$ $\epsilon\gt 0$ $F_i$ $n\epsilon \gt \sum F_i = 1$

\sum_{i = 1}^{n} F_{i}^{2} \leq \sum_{i = 1}^{n} ϵ^{2} < \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{1}{n})}^{2} = \frac{1}{n} .

$\sum_{i=1}^n F_i^2 \le \sum_{i=1}^n \epsilon^2 \lt \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)^2 =\frac{1}{n}.$

所以

- 1 = - \sum_{i = 1}^{n} F_{i} \geq \sum_{i = 1}^{n} \log (1 - F_{i}) \geq - \sum_{i = 1}^{n} F_{i} - \frac{1}{2} \frac{1}{n} = - 1 - \frac{1}{2 n}

$-1 = -\sum_{i=1}^n F_i \ge \sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right) \ge -\sum_{i=1}^n F_i - \frac{1}{2}\frac{1}{n} = -1 - \frac{1}{2n}$

压缩两个收敛到序列之间的对数。由于是连续的，因此乘积收敛到该限制的指数。所以 $-1$ $\exp$ $\prod_{i=1}^n(1 - F_i)$ $\exp(-1)$

lim_{n \to \infty} (1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i})) = 1 - \exp (- 1) \approx 0.632,

$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\right) = 1 - \exp(-1) \approx 0.632,$

QED。

仔细查看此分析，该近似值中的误差（始终为下界）不会大于例如，将标准正态分布划分为和之间的切片会在模式附近产生一个最大，它将近似等于该矩形的面积。前述界限确定式的值将在其极限值的以内。实际误差要小一个数量级，

(\exp ((n / 2) max (F_{i}^{2})) - 1) \exp (- 1) .

$\left(\exp\left((n/2)\max(F_i^2)\right) - 1\right)\exp(-1).$

n = 400

$n=400$

- 4

$-4$

4

$4$

F_{i}

$F_i$

0

$0$

\exp (- 1 / 2) / 50 \approx 0.012

$\exp(-1/2)/50 \approx 0.012$

(1)

$(1)$

0.011

$0.011$

0.001041

$0.001041$ 。这是其中的计算R（我们可以信任，因为相对于都不小）：

f_{i}

$f_i$

1

$1$

f <- diff(pnorm(seq(-4, 4, length.out=401))) # The normal "slices".
f <- f / sum(f)                              # Make them sum to unity.
exp(-1) - prod(1 - f)                        # Compute the error.

实际上，1 - prod(1-f)是而是。 $0.6331615\ldots$ $1-\exp(-1)$ $0.6321206\ldots$

— ub
source

错误分析是此答案的非常有用的方面。

— 丹尼尔（Daniel）2013年