有一个定理说

令为具有定义的均值μ和标准偏差σ的任何分布。中心极限定理说 $X$$\mu$$\sigma$ 收敛于标准正态分布。如果用样本标准差S代替σ，则有一个定理表明

$$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$$ $\sigma$$S$ 收敛到t分布吗？由于对于较大的n，t分布接近正态，因此如果存在该定理，则该定理可以声明该极限为标准正态分布。因此，在我看来t分布不是​​很有用-仅当X大致为正态时才有用。是这样吗 $$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$$ $n$$X$

如果可能的话，当被S替换时，您是否会指出包含该CLT证明的引用？这样的参考可以优选地使用度量理论概念。但是在这一点上，任何事情对我来说都是很棒的。$\sigma$$S$

$n$$X$$\mu$$\sigma$

$$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$$ $$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$$

$Y_n = \frac 1{S_n}$$S_n$$X$

样本是iid，因此样本矩估计了一致的人口矩。所以

$$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$$

$$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$$ $c$

$$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$$

至于学生分布的有用性，我只提到，在与统计检验有关的“传统用途”中，当样本量很小时（我们仍然会遇到这种情况），它仍然是必不可少的。已被广泛应用于具有（条件）异方差性的自回归序列模型，尤其是在金融计量经济学的背景下，此类数据经常出现。