为什么重复测量方差分析假设为球形？

球形是指组之间所有成对差异的方差应相同的假设。

特别是，我不明白为什么这应该是假设，而不是所观察到的组分数本身的方差相同。

— user1205901-恢复莫妮卡
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正如我在这里评论的那样，由于RM级别之间的差异变量是由其原点联系在一起的，因此球形度意味着它们具有相同的方差。

— ttnphns 2014年

在回答之前，如果知道您是否理解为什么独立度量方差分析具有方差同质性假设将很有帮助。

— 约翰

@John我的理解是这是stats.stackexchange.com/questions/81914/…给出的答案，可以正确回答该问题。

— user1205901-恢复莫妮卡2014年

@ttnphns不幸的是，我不太理解您的回答。您或其他张贴者是否有兴趣将其分解成更详细的回复？

— user1205901-恢复莫妮卡2014年

Answers:

球形性假设的直觉

ANOVA是常见的，非重复测量的假设之一，在所有组中均具有相同的方差。

（我们可以理解它，因为线性回归中的OLS估计量为BLUE且相应的t检验有效，需要等方差，也称为均方差，请参见Gauss-Markov定理。并且ANOVA可以实现为线性回归。）

因此，让我们尝试将RM-ANOVA案例简化为非RM案例。为简单起见，我将处理在 RM条件下记录了对象的单因素RM-ANOVA（无任何对象间效应）。 $n$ $k$

每个主题都可以具有自己的特定于主题的偏移量或截距。如果我们从所有其他组的值中减去一个组中的值，我们将取消这些截距，并得出可以使用非RM-ANOVA检验这些组差异是否全部为零的情况。为了使该检验有效，我们需要假设这些差异的方差相等。 $k-1$ $k-1$

现在我们可以从所有其他组中减去第2组，再次得出差，这些差也应具有相等的方差。对于每个组，对应的差异的方差应相等。很快得出结论，所有可能的差应相等。 $k-1$ $k$ $k-1$ $k(k-1)/2$

恰好是球形度假设。

为什么组方差本身不应该相等？

当我们认为RM-ANOVA的，我们通常认为的形式的一个简单的添加剂混合模型式模型的其中都受到影响，是条件的影响，以及。

y_{i j} = μ + α_{i} + β_{j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}=\mu+\alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij},$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{j}

$\beta_j$

ϵ \sim N (0, σ^{2})

$\epsilon\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$

对于这个模型，组间差异将按照，即，将所有具有相同方差，所以球形成立。但每一组将遵循的混合物高斯与装置在和方差，这是一些复杂的分布方差是跨组恒定的。 $\mathcal N(\beta_{j_1} - \beta_{j_2}, 2\sigma^2)$ $2\sigma^2$ $n$ $\alpha_i$ $\sigma^2$ $V(\vec \alpha, \sigma^2)$

因此，在此模型中，实际上，组方差也相同。组协方差也相同，这意味着该模型暗含复合对称性。与球形相比，这是一个更严格的条件。如我上面的直观论证所示，当上面编写的加法模型不成立时，RM-ANOVA在更一般的情况下可以正常工作。

精确的数学陈述

我将在此处添加Huynh＆Feldt（1970年）提出的一些条件，在该条件下重复测量设计中的均方比具有精确的分布 $F$ 。

球形度破裂时会发生什么？

当球形度不成立时，我们可能会期望RM-ANOVA（i）尺寸过大（I型错误更多），（ii）功率降低（II型错误更多）。可以通过模拟来探索这一点，但是我在这里不做。

— 阿米巴
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事实证明，违反球形的影响是功率损失（即II型错误的可能性增加）和测试统计量（F比率），这些统计数据根本无法与F分布的列表值进行比较。F检验变得过于宽松（即，当无效假设为真时，无效假设的拒绝比例大于alpha水平）。

对此问题的精确调查非常复杂，但幸运的是Box等人撰写了一篇有关该主题的论文：https : //projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177728786

简而言之，情况如下。首先，假设我们对S个对象和A个实验进行了一个因子重复测量设计，在这种情况下，通过计算F统计量来测试自变量的效果，该统计量是效果均方与均方之比主因子和自变量之间的相互作用的关系。当球形度保持，此统计与费希尔分布和自由度。 $\upsilon_{1}=A-1$ $\upsilon_{2}=(A-1)(S-1)$

另外，在上述文章框显示，当球形度失败，自由度的正确的数目变为 F比的依赖于一个球形像这样： $\upsilon_{1}$ $\epsilon$

υ_{1} = ϵ (A - 1)

$\upsilon_{1} = \epsilon(A-1)$

υ_{2} = ϵ (A - 1) (S - 1)

$\upsilon_{2} = \epsilon(A-1)(S-1)$

Box还介绍了球形度指数，该指数适用于总体协方差矩阵。如果我们称本AXA表的条目，那么指数 $\xi_{a,a}$

ϵ = \frac{{(\sum_{a}^{} ξ_{a, a})}^{2}}{(A - 1) \sum_{a, a^{'}}^{} ξ_{a, a^{'}}^{2}}

$\epsilon = \frac{\left ( \sum_{a}^{ }\xi_{a,a} \right )^{2}}{\left ( A-1 \right )\sum_{a,a'}^{ }\xi_{a,a'}^{2}}$

关于协方差矩阵的特征值，可以最好地理解球形度的Box指数。回想一下，协方差矩阵属于正半定矩阵的类别，因此始终具有零特征值的正值。因此，球形度条件等于所有特征值等于一个常数。

因此，当违反球形度时，我们应该对F统计量进行一些校正，例如，最明显的校正示例是Greenhouse-Geisser和Huynh-Feldt

如果不进行任何更正，您的结果将有偏差并且非常不可靠。希望这可以帮助！

— 广大院士
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+1。我将在以后发表更多评论，但现在您的第一段将测试的力量和规模融合在一起。违反球形性会损害什么？I型错误率在null下？还是力量？或两者？您可能两者都说，但是表述不是很清楚（我认为）。此外，它不是“ Box等”，而是Box本身:)

— 变形虫

我认为该功能将受到最大程度的削弱，因为如Box所示，当违反球形度时，我们必须依靠完全不同的统计量（具有另一个自由度）。如果我们不依赖于此，那么根据我们违反的严重程度，我们将有更大比例的对原假设的拒绝。

— 浩大的院士

抱歉，仍然很困惑，现在您的评论是：“拒绝null的比例更大”-您是说什么时候null才是真的？但这与功耗无关，这是I型错误率。

— 变形虫

+10。我对这个答案给予悬赏：这很好，也是赏金期间出现的唯一答案。我对您的答案还不完全满意（还好吗？），我开始写自己的答案（目前还不完整，但是已经发布了），但是我对底层数学只有部分了解。您的回答肯定会有所帮助，并且对Box 1954的引用也很有帮助。

— 变形虫

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ξ

$\xi$

A \times A

$A\times A$

$y_{ijk}$ $i=1, ..., I; j = 1, ..., J; k = 1, ..., K.$

第i组的样本均值是

{\bar{y}}_{i . .} = \frac{1}{J K} \sum_{j = 1}^{J} \sum_{k = 1}^{K} y_{i j k}

$\bar{y}_{i..} = \frac{1}{JK}\sum_{j=1}^{J}\sum_{k=1}^{K}{y_{ijk}}$

第一个科目是

{\bar{y}}_{i j .} = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} y_{i j k}

$\bar{y}_{ij.} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}{y_{ijk}}$

通过假设受试者之间的独立性，两组均值之差的方差为

V a r ({\bar{y}}_{i . .} - {\bar{y}}_{i^{'} . .}) = \frac{1}{J^{2}} \sum_{j = 1}^{J} V a r ({\bar{y}}_{i j .}) + \frac{1}{J^{2}} \sum_{j^{'} = 1}^{J} V a r ({\bar{y}}_{i^{'} j^{'} .})

$Var(\bar{y}_{i..} - \bar{y}_{i'..}) = \frac{1}{J^2}\sum_{j=1}^JVar(\bar{y}_{ij.}) + \frac{1}{J^2}\sum_{j'=1}^JVar(\bar{y}_{i'j'.})$

$Var(\bar{y}_{ij.})$ $\sigma^{2}/K$ $\sigma^{2}$ $Var(\bar{y}_{ij.})$

现在，提出了球形性问题。

$\bar{y}_{..k} - \bar{y}_{..k'}$

{\bar{y}}_{. . k} = \frac{1}{I J} \sum_{i = 1}^{I} \sum_{j = 1}^{J} y_{i j k} .

$\bar{y}_{..k} = \frac{1}{IJ}\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}{y_{ijk}}.$

y_{i j k}

$y_{ijk}$

y_{i j k^{'}}

$y_{ijk'}$

V a r ({\bar{y}}_{. . k} - {\bar{y}}_{. . k^{'}}) = \frac{1}{(I J)^{2}} \sum_{i = 1}^{I} \sum_{j = 1}^{J} V a r (y_{i j k} - y_{i j k^{'}})

$Var(\bar{y}_{..k} - \bar{y}_{..k'}) = \frac{1}{(IJ)^2}\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^JVar(y_{ijk} - y_{ijk'})$

因此，假设所有成对差异均具有恒定方差，则一旦估计了公共方差，就可以执行t检验。该假设以及每个观测值的恒定方差意味着，任何对测量之间的协方差在所有对之间均是恒定的-Sergio在这个主题上有很棒的文章。因此，这些假设为每个对象的重复测量提供了方差-协方差结构，作为矩阵，该矩阵具有对角线常数和非对角线常数。当非对角线条目全部为零时，它将简化为全独立模型（这可能不适用于许多重复的测量研究）。当非对角线条目与对角线条目相同时，对于一个对象，重复的测量值将完全相关，这意味着任何单个测量值与每个对象的所有测量值都一样好。最后说明-在我们的简单分割图设计中，当K = 2时，将自动满足球形度条件。

— 林霖
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