随机变量函数的概率分布？

我有一个疑问：考虑实值随机变量和无论在概率空间定义。 $X$ $Z$ $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$

令，其中是实值函数。由于是随机变量的函数，因此它是随机变量。 $Y:= g(X,Z)$ $g(\cdot)$ $Y$

令即的实现。 $x:=X(\omega)$ $X$

是等于？ $\mathbb{P}(Y|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)|X=x)$ $\mathbb{P}(g(x,Z))$

probability random-variable

— 用户名
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因为您的表示法是非常缩写的，所以可能值得指出的是，它隐含地引用了某些Borel集，服从通用量词的约束，因此，对您的问题进行更全面的呈现将是

A

$A$

\forall_{A} P (Y \in A | X = x) = P (g (X, Z) \in A | X = x) = P (g (x, Z) \in A) .

$\forall_A\ \mathbb{P}(Y\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(x,Z)\in A).$

— ub

@whuber：只有和独立时，您的最后一个等式才有效。

X

$X$

Z

$Z$

— 2014年

好的，您只是在考虑“是否……”。

— 2014年

如果是可测量的，则表示 -aa。特别是，如果独立于，则表示 -aa。 $g$

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A\mid X=x),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

P_{X}

$P_X$

x

$x$

Z

$Z$

X

$X$

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

P_{X}

$P_X$

x

$x$

这取决于以下一般结果：

如果和是随机变量，并且表示给定的的规则条件概率，即，然后 $U,T$ $S$ $P_S(\cdot \mid T=t)$ $S$ $T=t$ $P_S(A \mid T=t)=P(S\in A\mid T=t)$
$\begin{matrix} (*) & E [U ∣ T = t] = \int_{R} E [U ∣ T = t, S = s] P_{S} (d s ∣ T = t) . \end{matrix}$ ${\rm E}[U\mid T=t]=\int_\mathbb{R} {\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).\tag{*}$

证明：规则条件概率的定义可确保可测量且可积分。现在，让我们对于某些集博雷尔集。然后与由于

E [ψ (S, T)] = \int_{R} \int_{R} ψ (s, t) P_{S} (d s ∣ T = t) P_{T} (d t)

${\rm E}[\psi(S,T)]=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} \psi(s,t)\,P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)$

ψ

$\psi$

ψ (s, t) = 1_{B} (t) E [U ∣ S = s, T = t]

$\psi(s,t)=\mathbf{1}_B(t){\rm E}[U\mid S=s,T=t]$

B

$B$

\begin{aligned} \int_{T^{- 1} (B)} U d P & = E [1_{B} (T) U] = E [1_{B} (T) E [U ∣ S, T]] = E [ψ (S, T)] \\ = \int_{R} \int_{R} ψ (s, t) P_{S} (d s ∣ T = t) P_{T} (d t) \\ = \int_{B} φ (t) P_{T} (d t) \end{aligned}

$\begin{align} \int_{T^{-1}(B)} U\,\mathrm dP&={\rm E}[\mathbf{1}_B(T)U]={\rm E}[\mathbf{1}_B(T){\rm E}[U\mid S,T]]={\rm E}[\psi(S,T)]\\ &=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\psi(s,t)\, P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)\\ &=\int_B\varphi(t)P_T(\mathrm dt) \end{align}$

φ (t) = \int_{R} E [U ∣ T = t, S = s] P_{S} (d s ∣ T = t) .

$\varphi(t)=\int_\mathbb{R}{\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).$

B

$B$ 是任意的，我们得出结论。

φ (t) = E [U ∣ T = t]

$\varphi(t)={\rm E}[U\mid T=t]$

现在，让并在使用，其中和，。然后我们注意到通过条件期望的定义，因此通过我们具有 $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ $(*)$ $U=\psi(X,Z)$ $\psi(x,z)=\mathbf{1}_{g^{-1}(A)}(x,z)$ $S=Z$ $T=X$

E [U ∣ X = x, Z = z] = E [ψ (X, Y) ∣ X = x, Z = z] = ψ (x, z)

${\rm E}[U\mid X=x,Z=z]={\rm E}[\psi(X,Y)\mid X=x,Z=z]=\psi(x,z)$

(*)

$(*)$

\begin{aligned} P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) & = E [U ∣ X = x] = \int_{R} ψ (x, z) P_{Z} (d z ∣ X = x) \\ = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x) . \end{aligned}

$\begin{align} P(g(X,Z)\in A\mid X=x)&={\rm E}[U\mid X=x]=\int_\mathbb{R} \psi(x,z)\,P_Z(\mathrm dz\mid X=x)\\ &=P(g(x,Z)\in A\mid X=x). \end{align}$

— 斯蒂芬·汉森
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