平稳性的直观解释

我在脑海里挣扎了一段时间，这是您的想法吗？任何意见或进一步的想法将不胜感激。

平稳过程是一种生成时间序列值的过程，以使分布平均值和方差保持恒定。严格来说，这称为平稳性的弱形式或协方差/平均平稳性。

平稳性的弱形式是时间序列在整个时间中具有恒定的均值和方差。

简单地说，从业者说，平稳时间序列是没有趋势的-围绕恒定均值波动并且具有恒定方差。

不同滞后之间的协方差是恒定的，它不依赖于时间序列中的绝对位置。例如，t和t-1之间的协方差（一阶滞后）应始终相同（1960-1970年期间与1965-1975年期间或其他任何时期相同）。

在非平稳过程中，该序列不会恢复长期运行。因此，我们说非平稳时间序列并不意味着还原。在那种情况下，方差取决于时间序列中的绝对位置，并且随着时间的流逝方差变为无穷大。从技术上讲，自相关不会随时间衰减，但是在小样本中自相关确实会消失-尽管缓慢。

在固定过程中，冲击是暂时的，并且会随着时间的流逝消散（失去能量）。一段时间后，它们不会对新的时间序列值有所贡献。例如，第二次世界大战之前发生的事件（足够长的时间）产生了影响，但是今天的时间序列就像第二次世界大战从未发生过一样，我们可以说震撼失去了能量或消散。平稳性尤其重要，因为许多经典的计量经济学理论都是在平稳性的假设下得出的。

平稳性的一种强烈形式是，时间序列的分布与波谷时间完全相同。换句话说，原始时间序列的分布与滞后时间序列（有任何数量的滞后）甚至时间序列的子段完全相同。例如，强形式还表明，即使对于子细分市场1950-1960、1960-1970甚至是重叠的时期（如1950-1960和1950-1980），分布也应该相同。这种平稳形式称为强，因为它不假设任何分布。它只说概率分布应该相同。在平稳性较弱的情况下，我们通过均值和方差定义分布。我们可以简化一下，因为我们隐式地假设正态分布，正态分布完全由均值，方差或标准差定义。这只是说序列（在时间序列内）的概率测度与相同时间序列内值的滞后/移位序列的概率测度相同。

首先，必须注意平稳性是过程的属性，而不是时间序列的属性。您考虑一个过程生成的所有时间序列的集合。如果该集合的统计属性¹（均值，方差等）随时间恒定，则此过程称为平稳过程。严格来说，不可能说给定的时间序列是否是由平稳过程生成的（但是，在某些假设的情况下，我们可以做出很好的猜测）。

更直观地说，平稳性意味着您的流程没有明确的时间点（影响观察的统计属性）。这是否适用于给定过程，关键取决于您认为过程是固定的还是可变的，即集合中包含的内容。

非平稳性的典型原因是与时间有关的参数-通过参数的值可以区分时间点。另一个原因是固定的初始条件。

请考虑以下示例：

• 在给定的时间从一辆汽车驶过进入我家的噪音并不是一个平稳的过程。例如，当汽车紧邻我的房屋时，平均振幅²最高。

• 如果我们忽略交通强度的时间依赖性（例如，夜间或周末的交通较少），通常从街道交通进入我家的噪音是一个平稳的过程。不再有任何时间点。尽管各个时间序列可能会有很大的波动，但当我考虑该过程的所有实现时，这些波动就消失了。

• 如果我包括已知的对交通强度的影响，例如夜间交通量减少，则该过程又不再平稳：平均振幅²随每日节奏而变化。每个时间点都以一天中的时间区分。

• 将单个胡椒粉放在一锅开水中的位置是一个固定过程（忽略由于蒸发而造成的水分流失）。没有明确的时间点。

• 在恰好在中间的一锅开水中放置单个胡椒粉的位置不是固定过程，因为是一个明显的时间点。花椒的平均位置始终位于中间（假设对称锅中没有明显的方向），但是在（较小）的情况下，我们可以确保在每次实现该过程时，花椒都位于中间附近，但稍后也可以更靠近锅的边界。$t=0$$t=0$$t=ε$$ε$

  因此，头寸的分布随时间而变化。举一个具体的例子，标准偏差会增大。分布迅速收敛到上一个示例的各个分布，如果我们仅看一下且具有足够高的，则可以忽略非平稳性并将其近似为所有目的的平稳过程–初始条件的影响已经消失。$t>T$$T$

^{¹出于实际目的，有时将其简化为均值和方差（平稳性较弱），但是我认为这对理解该概念没有帮助。只需忽略弱的平稳性，直到您了解平稳性即可。
²这是音量的平均值，但是实际声音信号的标准偏差（此处不必太担心）。}

为了清楚起见，我要补充一点，因为任何时间序列的数据点在整个时间范围内均呈正态分布，且均值恒定且方差恒定，所以该序列被认为是一个强大的固定时间序列，因为给定均值和标准差后，正态分布将始终具有相同的概率分布曲线（正规方程的输入仅取决于均值和标准偏差）。

对于t分布，情况并非如此，例如，t分布方程的输入为gamma，尽管均值和标准偏差恒定，但它会影响分布曲线的形状。