如何将和包括在回归中，以及是否将它们居中？

我想将项及其平方（预测变量）包括在回归中，因为我假设低值对因变量有积极影响，而高值则有负面影响。在应该捕获更高价值的作用。因此，我期望的系数为正，的系数为负。除了，我还包括其他预测变量。$x$$x^2$$x$$x^2$$x$$x^2$$x$

我在这里读过一些文章，在这种情况下，最好将变量居中以避免多重共线性。 进行多元回归时，何时应将预测变量居中以及何时应对其进行标准化？

1. 我应该分别将两个变量居中（平均）还是应该仅居中然后取平方，还是应该仅居中并包含原始？$x$$x^2$$x$

2. 如果是一个计数变量，是否有问题？$x$

为了避免成为计数变量，我考虑过将其除以理论上定义的面积，例如5平方公里。这应该有点类似于点密度计算。$x$

但是，恐怕在这种情况下，如和x²= 4时，我对系数符号的最初假设将不再成立。$x=2$$x²=4$

$x= 2 / 5 \text{ km}^2$ = $0.4 \text{ km}^2$

但是$x^2$会更小，因为 $x^2= (2/5)^2= 0.16$。

您的问题实际上包含几个子问题，我将尽我所能设法解决这些问题。

• 如何区分低值和高值对回归的依赖性？

考虑和是一种实现方法，但是您确定测试是结论性的吗？您能否得出对回归的所有可能结果有用的结论？我认为事先明确提出问题会有所帮助，而提出类似和相关的问题也会有所帮助。例如，您可以考虑的阈值，其斜率不同。这可以使用主持人变量来完成。如果不同的斜率（同时施加相同的截距）是兼容的，那么您就没有区别，否则您为自己提供了明确的理由来说明它们的区别。$x$$x^2$$x$

• 您什么时候应该居中和标准？

我认为这个问题不应与第一个问题和测试混在一起，而且恐怕事先以或为中心可能会使结果产生偏差。我建议至少在第一阶段不要居中。请记住，您可能不会死于多重共线性，许多作者认为这等同于使用较小的样本量（此处和此处）。$x$$x^2$

• 将离散计数变量转换为（连续）浮点变量是否会改变结果的解释？

是的，但是，这在很大程度上取决于前两点，因此我建议您一次解决一件事。我没有理由不进行这种转换就无法进行回归，因此，我建议您暂时忽略它。还要注意，通过除以一个公共元素，您可以更改的比例，但是有完全不同的查看方式，就像我上面写的那样，其中更明确地考虑了该阈值。$x^2 = x$

通常，居中可以帮助减少多重共线性，但是“您可能不会死于多重共线性”（请参阅​​predrofigueira的回答）。

最重要的是，通常需要居中以使截距有意义。在简单模型，截距定义为的预期结果。如果值为零没有意义，则itercept都不有意义。将变量置于其平均值中心通常很有用；在这种情况下，预测变量的形式为，截距是对象的预期结果，该对象的值等于均值。$y_i=\alpha+\beta x_i+\varepsilon$$x=0$$x$$x$$(x_i-\bar{x})$$\alpha$$x_i$$\bar{x}$

在这种情况下，必须先将居中，然后再平方。您不能将和分别居中，因为您正在将结果回归到“新”变量，因此必须对这个新变量平方。居中意味着什么？$x$$x$$x^2$$(x_i-\bar{x})$$x^2$

如果计数变量的均值有意义，则可以将其居中，但是可以缩放它。例如，如果并且“ 2”可以是基线，则可以减去2：。截距成为上的值等于“ 2”（参考值）的对象的预期结果。$x=1,2,3,4,5$$(x_i-2)=-1,0,1,2,3$$x_i$

至于除法，没有麻烦：您估计的系数会更大！§4.1的Gelman和Hill给出了一个示例：

1英寸是毫米，所以是。一英寸是 emiles，所以是。但是这三个方程是完全等价的。$25.4$$51$$1300/25.4$$1.6e-5$$81000000$$1300/1.6e-5$

我假设x的低值对因变量有正面影响，而x的高值则有负面影响。

尽管我欣赏其他人对系数居中和解释的处理，但是您在此处描述的只是线性效应。换句话说，您所描述的内容并不表示需要测试x的平方。