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加权方差的偏差校正
对于未加权方差 存在的偏置校正的样本方差，当平均是从相同的数据估计： Var（X）：=1Var(X):=1n∑i(xi−μ)2Var(X):=1n∑i(xi−μ)2\text{Var}(X):=\frac{1}{n}\sum_i(x_i - \mu)^2Var(X):=1n−1∑i(xi−E[X])2Var(X):=1n−1∑i(xi−E[X])2\text{Var}(X):=\frac{1}{n-1}\sum_i(x_i - E[X])^2 我正在研究加权均值和方差，并想知道加权方差的适当偏差校正是什么。使用： mean(X):=1∑iωi∑iωiximean(X):=1∑iωi∑iωixi\text{mean}(X):=\frac{1}{\sum_i \omega_i}\sum_i \omega_i x_i 我正在使用的“天真”，未经校正的方差是： Var(X):=1∑iωi∑iωi(xi−mean(X))2Var(X):=1∑iωi∑iωi(xi−mean(X))2\text{Var}(X):=\frac{1}{\sum_i \omega_i}\sum_i\omega_i(x_i - \text{mean}(X))^2 所以我想知道纠正偏见的正确方法是 A） Var(X):=1∑iωi−1∑iωi(xi−mean(X))2Var(X):=1∑iωi−1∑iωi(xi−mean(X))2\text{Var}(X):=\frac{1}{\sum_i \omega_i - 1}\sum_i\omega_i(x_i - \text{mean}(X))^2 或B） Var(X):=nn−11∑iωi∑iωi(xi−mean(X))2Var(X):=nn−11∑iωi∑iωi(xi−mean(X))2\text{Var}(X):=\frac{n}{n-1}\frac{1}{\sum_i \omega_i}\sum_i\omega_i(x_i - \text{mean}(X))^2 或C） Var(X):=∑iωi(∑iωi)2−∑iω2i∑iωi(xi−mean(X))2Var(X):=∑iωi(∑iωi)2−∑iωi2∑iωi(xi−mean(X))2\text{Var}(X):=\frac{\sum_i \omega_i}{(\sum_i \omega_i)^2-\sum_i \omega_i^ 2}\sum_i\omega_i(x_i - \text{mean}(X))^2 A）当权重较小时对我来说没有意义。归一化值可以是0甚至是负数。但是B）（是观察次数）-这是正确的方法吗？您是否有参考资料可以证明这一点？我相信“更新均值和方差估计：一种改进的方法”，DHD West，1979年使用了这种方法。第三，C）是我对这个问题的答案的解释：https : //mathoverflow.net/questions/22203/unbiased-estimate-of-the-variance-of-an-unnormalized-weighted-meannnn 对于C），我刚刚意识到分母看起来很像。这里有一些一般的联系吗？我认为这并不完全一致；显然我们正在尝试计算方差...Var(Ω)Var(Ω)\text{Var}(\Omega) 他们三个似乎都“生存”设置所有的健全性检查。那么我应该在哪个前提下使用哪个呢？“更新：” whuber建议也使用和所有其余的进行完整性检查。这似乎排除了A和B。ωi=1ωi=1\omega_i=1ω1=ω2=.5ω1=ω2=.5\omega_1=\omega_2=.5ωi=ϵωi=ϵ\omega_i=\epsilon