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EM算法练习题
这是期中考试的练习题。问题是一个EM算法示例。我在（f）部分遇到了麻烦。我列出了要完成的部分（a）-（e），以防万一我之前弄错了。 令是速率为独立指数随机变量。不幸的是，没有观察到实际的值，我们仅观察值是否落在特定间隔内。令，和 对于。观察到的数据由。X1,…,XnX1,…,XnX_1,\ldots,X_nθθ\thetaXXXXXXG1j=1{Xj<1}G1j=1{Xj<1}G_{1j} = \mathbb{1}\left\{X_j < 1\right\}G2j=1{1<Xj<2}G2j=1{1<Xj<2}G_{2j} = \mathbb{1}\left\{1< X_j<2\right\}G3j=1{Xj>2}G3j=1{Xj>2}G_{3j} = \mathbb{1}\left\{X_j > 2\right\}j = 1 ，… ，nĴ=1个，…，ñj=1,\ldots,n（G1 Ĵ，G2 Ĵ，G3 Ĵ）（G1个Ĵ，G2Ĵ，G3Ĵ）(G_{1j},G_{2j},G_{3j}) （a）给出观察到的数据可能性： L （θ | G ）=∏j = 1ñ镨{XĴ< 1 }G1 Ĵ镨{ 1 <XĴ< 2 }G2 Ĵ镨{XĴ> 2 }G3 Ĵ=∏j = 1ñ(1−e−θ)G1j(e−θ−e−2θ)G2j(e−2θ)G3jL(θ|G)=∏j=1nPr{Xj<1}G1jPr{1<Xj<2}G2jPr{Xj>2}G3j=∏j=1n(1−e−θ)G1j(e−θ−e−2θ)G2j(e−2θ)G3Ĵ\begin{align*} L(\theta | G) &= \prod_{j=1}^n \text{Pr}\left\{X_j < 1\right\}^{G_{1j}}\text{Pr}\left\{12\right\}^{G_{3j}}\\ …