Answers:
更新（截至2017年12月）：土耳其政府再次向美国公民发放电子签证（20美元）和落地签证（30美元）。
目前，以下详细信息是错误的，但留作历史参考。
另一个答案是错误的。
如Timatic中所述，航空公司使用的数据库：
需要签证，但美国国民可以在抵达时获得签证，最长停留时间为3个月。但这并不适用于美国公民从美国出发，直接前往土耳其或在第三国过境不超过24小时。
因此，是的，如果您在其他地方停留至少24小时（您可以使用登机牌证明），则可以在抵达时获得签证。
如果您仍然不确定，请尝试在机场打电话给警察并询问（+90 212 463 30 00）。但不能保证他们会说英语。
更新：Timatic已更新，现在声明：
所需的签证（美国国民除外）可以在抵达时获得签证，最长逗留3个月。他们必须来自美国以外的其他国家/地区，并且必须获得其居住国家/地区颁发的居留许可。
因此，居住在美国的美国人根本无法再获得签证
不，当然不。由于外交争端，10月8日严格限制向美国公民发放土耳其签证（反之亦然）。在此之前，美国公民可以在线申请电子签证，通常会立即获得批准。现在，美国公民必须在土耳其领事馆或外国代表处申请签证，并且签证仅在非常特殊的情况下才发放。
在这种情况下，您所乘飞机的位置无关紧要。事实上，由于您无权进入该国，因此任何航空公司都无需事先签证即可拒绝您搭乘飞往伊斯坦布尔的航班。
编辑：我试图打电话给阿塔图尔克机场，问为什么外交部的官方信息和移民警察的现行做法显然不匹配。我在机场与之交谈的人不希望或无法回答我的问题，但要求我给+90 312 2921000打电话，这是安卡拉外交部的电话。在那儿，我与某种类型的问讯处联系在一起，这使我指向外交部的官方签证信息页面，并指出美国公民目前无法使用电子签证和入境签证。他们无法解释是否或为何由Atatürk机场的移民警察签发签证。