为什么轨道是椭圆形而不是圆形？

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为什么行星围绕特定椭圆形的恒星自转，而恒星位于其焦点之一？为何轨道不成圈？

star orbit planet

— Devgeet Patel
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爱德华多的答案概括了其中的大部分。虽然您可以在Physics SE上看到我对类似问题的回答。physics.stackexchange.com/questions/56657/...

— Cheeku

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圆形轨道是椭圆形轨道的一种特殊情况。

— asawyer 2013年

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假设与恒星相比，行星的质量可以忽略不计，并且两者都是球形对称的（因此牛顿的万有引力定律成立，但是无论如何这通常是非常好的近似），并且除了它们之间的引力之外没有任何力。如果不满足第一个条件，则每个对象的加速度都将朝系统的重心移动，就像重心正在吸引它们的重力具有一定的减小的质量一样，因此该问题在数学上是等效的。

以星星为起点。根据牛顿万有引力定律，力为 $\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$ ，其中 $\mathbf{r}$ 是行星的向量， $m$ 是其行星质量，并且 $\mu = GM$ 是恒星的标准重力参数。

养护法

由于该力纯粹是径向力，因此角动量是守恒的：如果初始速度为非零且恒星位于原点，那么就初始位置和速度而言，必须将轨道限制在所有点的平面上，这些矢量的起点必须满足向量 $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$ $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$

\dot{L} = \frac{d}{d t} (r \times p) = m (\dot{r} \times \dot{r}) + r \times F = 0 .

$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$

x

$\mathbf{x}$

L \cdot x = 0

$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$ 。如果初始速度为零，则运动纯粹是径向的，我们可以采用包含重心和初始位置的无限多个平面中的任何一个。

总轨道能量由，其中第一项是动能，第二项是地球的重力势能。它的守恒，以及它调用正确的势能这一事实，可以通过对线积分进行微积分的基本定理来证明。

E = \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{m μ}{r},

$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$

将Laplace-Runge-Lenz向量定义为也是保守的：

A = p \times L - \frac{m^{2} μ}{r} r .

$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$

\begin{array}{rcl} \dot{A} & = & F \times L + p \times \dot{L} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & - \frac{m μ}{r^{3}} \underset{(r \cdot p) r - r^{2} p}{\underset{⏟}{(r \times (r \times p))}} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & 0 . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$

最后，我们还采用，其单位与，并且自，它沿着轨道平面。由于它是按守恒标量缩放的守恒向量，因此很容易证明也是守恒的，只要。 $\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$ $\mathbf{f}$ $\mathcal{E}\neq 0$

简化

通过使用向量三乘积，我们可以写其模平方很容易加快速度：其中始终用于在动力学和潜在项之间切换。

\begin{array}{rcl} \frac{1}{m} A & = & \frac{1}{m} [p^{2} r - (p \cdot r) p] - \frac{m μ}{r} r \\ = & (E + \frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p \\ E (f - r) & = & (\frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$

E^{2} | f - r |^{2} = {(E + \frac{m μ}{r})}^{2} r^{2},

$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$

E

$\mathcal{E}$

为什么省略？

由于是相对于无穷大的能量，因此，要具有束缚轨道，我们需要。因此，在上一节中，，因此定义了一个椭圆，其焦点为，长轴为。 $\mathcal{E}$ $\mathcal{E}<0$ $|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$

| f - r | + | r | = - \frac{m μ}{E},

$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$

0, f

$\mathbf{0},\,\mathbf{f}$

2 a = - m μ / E

$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

为什么不转圈？

圆是特殊情况，其中焦点是同一点，可以重新设置为换句话说，圆形轨道要求轨道能量为动能的负值。这是可能的，但几乎可以肯定不会完全成立。由于绑定轨道允许任何值，因此有许多种椭圆轨道的方法。（尽管其中一些实际上会崩溃，因为恒星和行星的大小为正。） $\mathbf{f} = \mathbf{0}$

E = - \frac{1}{2} \frac{m μ}{r} = - \frac{p^{2}}{2 m} .

$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$

E < 0

$\mathcal{E}<0$

请注意，双曲轨道的，尽管仍需注意符号，但仍可以使用上述方法找到焦点。对于，第二个焦点是不确定的，因为这是一个抛物线轨道，并且抛物线仅在距中心有限距离内具有一个焦点。 $\mathcal{E}>0$ $\mathcal{E}=0$ $\mathbf{f}$

另外，偏心向量 是LRL向量的替代选择；顾名思义，其大小就是轨道偏心率。 $\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

— 斯坦·柳
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行星可能具有圆形轨道，毕竟圆形是两个焦点都在同一位置的椭圆形。这被称为具有0的偏心率。偏心率的定义如下：，其中是顶点，即距轨道最远的点质心），而是根尖周（最近的距离）。只是为了在这里建立一些直觉，如果根尖的距离是根尖的距离的两倍，则偏心率将为。

e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}

$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$

r_{a}

$r_{a}$

r_{p}

$r_{p}$

e = 0.333

$e=0.333$

在太阳系的所有行星中，金星的偏心率为0.007，具有最大的圆形轨道。

关于为什么所有轨道都不圆的原因归结为动能。动能与速度的平方成正比。在绕恒星的轨道平面和极坐标中，我们可以将其分解为径向速度和角速度：由于圆具有恒定的半径，为了使轨道绕恒星呈圆形，行星的径向速度必须恰好为零。此外，角速度必须使同向旋转框架中的离心力精确地平衡重力-或多或少，这种不平衡会改变径向速度，破坏圆角。 $\dot{r}$ $\dot{\phi}$

v^{2} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2} .

$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$

鉴于速度因多种原因而变化的事实，也就不足为奇了，只有少数轨道最终是圆形的，并且考虑到实际轨道随时间变化，因此我们知道它们不能长期保持这种状态。

如果您正在寻找数学证明，则此链接共享有关它的一些详细信息。

这是从此处提取的图像，显示了太阳系中某些物体的偏心率：

一些太阳系天体及其偏心

— 爱德华多·塞拉
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这是完全错误的：“要使轨道转成圆形，行星的速度必须恰好是进入轨道所需的最小速度；……要小一点，它就会撞向它正在运行的行星。” 该段也对什么绕着什么感到困惑。显然，它们使径向速度最小化，但这是不同的，并且与动能的讨论无关。如果将角动量保持固定，则将动能分解为径向和有角的部分，圆形轨道还将有效势最小化。

— Stan Liou 2013年

@Stan，您可以提出修改或提供自己的答案。您能否详细说明该陈述为何错误？如果卫星描述了一个圆形轨道，而您放慢了它的轨道，它将撞向地球。如果加快速度，它将形成椭圆形轨道。

— 爱德华多·塞拉

圆形轨道具有。卫星速度的微小变化将导致这些数量的微小变化。仅当新的小于或等于行星半径，包括卫星半径时，卫星才会崩溃。大气层，但由于变化很小，只有在卫星轨道几乎已经包围了行星的情况下，这种情况才会发生。...我将建议进行修改，以使运动保持动能。

r_{a} = r_{p}

$r_a = r_p$

r_{p}^{'}

$r'_p$

— Stan Liou 2013年

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@EduardoSerra-减慢物体在圆形轨道上的运动，它将处于椭圆形轨道，而以前的圆形轨道半径现在是最大焦点距离。

— David Hammen

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我总是更喜欢那些避免使用任何公式并回答争论的答案。关于问题的一部分，为什么不是所有的轨道都是圆形的，一个论点是这样的：

考虑静止的恒星和运动的行星。对于行星可能具有的每个脉冲，可以预测其进一步运动的曲线。如果该脉冲的方向与从恒星到行星的直线正好正交，并且如果速度具有精确的量，则该运动曲线可以是精确的圆。

但是，对于这种精确脉冲的每一次偏差，所得的曲线都不能是圆：

如果速度太低，行星将朝恒星坠落（在零脉冲的极端情况下，该下降沿直线）。
如果速度太高，行星将与恒星保持距离（类似于弹弓）。
如果脉冲不直接与恒星的直线正交，则第一个运动将朝恒星移动或向恒星移动，因此曲线也将不再是圆。

因此，可以简单地说，对于行星可以围绕恒星的曲线，圆是一种非常特殊的情况。

— 阿尔夫
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（1）初始正交性参数是一个好的开始。（2）但是“速度太[低/高]”的考虑是不合理的：人们如何知道在相同距离下不允许以多种速度进行的圆形轨道？可以通过平衡重力和离心力来反对多种速度的可能性，但随后（1）和（2）都变成了Eduardo Serra的回答中所概述的内容。

— Stan Liou

因此，您的意思是可能给人一种印象，即当需要“更大”的力来使行星保持在圆形路径上时，重力会像紧的绳子一样向地球施加更多的力？嗯……是的，这取决于外行的背景。谢谢你的想法；也许我也可以改善我的答案以解决这个问题！

— Alfe 2014年