特别是第二定律：孤立系统的熵随时间增加。

为了这个挑战，

• “ 隔离的系统 ”将被视为程序或功能（从现在开始缩写为“程序”）；
• 的“过一次 ”将对应程序的输出的重复执行，被视为一个新的程序;
• “ 熵 ”将被当作香农的一阶熵（将在下面定义），它是衡量字符串字符多样性的一种度量。

挑战

您的程序应该产生一个非空字符串，当以相同语言作为程序执行该字符串时，它会产生一个比前一个具有更大熵的字符串。无限迭代此执行输出过程必须产生严格增加的熵值序列。

字符串可以包含任何Unicode 9.0字符。字符串的顺序必须是确定性的（与随机相反）。

给定字符串的熵将定义如下。标识其唯一字符及其在字符串中的出现次数。频率p _我的的我个独特特点是字符由字符串的长度划分的出现的次数。熵就是

总和超过字符串的所有唯一字符。从技术上讲，这对应于离散随机变量的熵，其分布由字符串中观察到的频率给出。

令H _k表示第k个程序产生的字符串的熵，令H ₀表示初始程序代码的熵。另外，令L ₀以字符表示初始程序的长度。根据挑战要求，序列{ H _k }是单调的，并且是有界的（因为现有字符的数量是有限的）。因此，它有一个限制，^ h _∞。

所述得分提交的将是（ħ _∞ - ħ ₀）/ 大号₀：

• 分子，^ h _∞ - ^ h ₀，反映到什么程度你的代码“服从”在一个无限时间跨度增加熵定律。
• 否定符L ₀是初始代码的长度，以字符（而不是字节）为单位。

得分最高的代码将获胜。关系将得到解决，以便尽早提交/编辑。

要计算字符串的熵，可以在本文结尾处使用JavaScript代码段（由@flawr提供，并由@Dennis和@ETHproductions进行更正）。

如果获得极限^ h _∞在特定情况下是很难的，你可以使用任何下界，说^ h ₂₀，计算得分（这样你可以使用（^ h ₂₀ - ^ h ₀）/ 大号₀）。但是无论如何，熵的无限序列必须严格增加。

如果不是显而易见的话，请附上解释或简短的证明熵序列在增加。

例

在一种虚构的语言中，请考虑代码aabcab，该代码在运行时会产生字符串cdefgh，在运行时会产生字符串，cdefghi...

原代码的独特字符a，b并且c，与各频率3/6，2/6和1/6。其熵为1.4591。这是H ₀。

字符串的cdefgh熵大于aabcab。我们无需计算就可以知道这一点，因为对于给定数量的字符，当所有频率均相等时，熵将最大化。实际上，熵H ₁为2.5850。

字符串cdefghi再次具有比前一个更大的熵。现在我们无需计算，因为添加不存在的字符总是会增加熵。实际上，H ₂是2.8074。

如果下一个字符串是42链，则该链无效，因为H ₃为1，小于2.8074。

如果，在另一方面，在序列上产生增加的熵的字符串与限制去ħ _∞ = 3，分数将是（3-1.4597）/ 6 = 0.2567。

致谢

谢谢

• @xnor对他帮助改善挑战，特别是说服我从迭代执行中获取无限熵的无限链的确是可能的；

• @flawr提供了一些建议，包括修改得分函数，以及编写非常有用的代码段；

• @Angs指出了分数函数先前定义中的一个基本缺点；

• @Dennis，用于JavaScript代码段中的更正；

• @ETHproductions用于摘要中的另一个更正；

• @PeterTaylor修正了熵的定义。

用于计算熵的代码段

function calculateEntropy() {
  var input = document.getElementById("input").value; // fetch input as string
  if (/[\uD800-\uDBFF]([^\uDC00-\uDFFF]|$)|([^\uD800-\uDBFF]|^)[\uDC00-\uDFFF]/.test(input)) {
    document.getElementById("output").innerHTML = " invalid (unmatched surrogates)";
    return;
  }
  var charArray = input.match(/[\uD800-\uDBFF][\uDC00-\uDFFF]|[^]/g);
  var frequency = {};
  for (var ind in charArray) {
    frequency[charArray[ind]] = 0;
  }
  var total = 0;
  for (var ind in charArray) {
    frequency[charArray[ind]] ++;
    total++;
  }
  var entropy = 0;
  for (var key in frequency) {
    var p = frequency[key] / total;
    entropy -= p * Math.log2(p);
  }
  document.getElementById("output").innerHTML = " " + entropy;
};

<button type="button" onClick="javascript:calculateEntropy();">calculate</button>Entropy: <span id="output">NaN</span> 
<br/>
<textarea id="input">asdf asdf</textarea>

果冻0.68220949

“ȷ6ȷ5rỌ,®Ṿ€ṁṾY⁾©v⁸⁵”©v⁵

H ₉₀ = 19.779597644909596802，H ₀ = 4.088779347361360882，L ₀ = 23

我用长双打计算H ₉₀。双精度浮子错误地报告H ₄₇ <H ₄₆

第一个程序打印

“…”
“ȷ6ȷ5rỌ,®Ṿ€ṁṾY⁾©v⁸⁵”©v1010

其中…，代码点在100,000至1,000,000之间的所有Unicode字符均用作占位符。实际长度为900,031个字符。

秒程序打印

“…”
“ȷ6ȷ5rỌ,®Ṿ€ṁṾY⁾©v⁸⁵”
“…”
“ȷ6ȷ5rỌ,®Ṿ€ṁṾY⁾©v⁸⁵”©v101010

依次打印

“…”
“ȷ6ȷ5rỌ,®Ṿ€ṁṾY⁾©v⁸⁵”
“…”
“ȷ6ȷ5rỌ,®Ṿ€ṁṾY⁾©v⁸⁵”
“…”
“ȷ6ȷ5rỌ,®Ṿ€ṁṾY⁾©v⁸⁵”©v10101010

等等

这些程序均不能在在线解释器中使用，该程序的输出限制为100 KB。但是，如果我们修改程序以打印0123456789而不是前面提到的900,000个 Unicode字符，则可以在线尝试！

MATLAB，9.6923e-005 0.005950967872272

H0 =  2.7243140535197345, Hinf = 4.670280547752703, L0 = 327

此新版本是第一个“概念验证”的改进版本。在这个版本中，我从第一次迭代中获得了不错的成绩。这是通过“增强”第一个程序的输出来实现的，该输出将被所有后续程序复制。然后，我还尝试通过尽可能多地H0附加最常见的代码符号来找到最小值。（这显然有一个限制，因为它不仅会减少，H0而且会同时增加L0。您可以看到分数的发展与程序大小之间的关系，其中大小只是通过添加或删除来改变1。）迭代仍然等效于下面的先前版本。

a=['ns}z2e1e1116k5;6111gE16:61kGe1116k6111gE16:6ek7;:61gg3E1g6:6ek7;:61gg3E1'];11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111;;disp(['[''',a+1,'''];',0,'a=[''',a,'''];',0,[a-10,']]);'],0,[a-10,']]);']]);

先前版本：

H0 = 4.22764479010266, Hinf = 4.243346286312808, L0 = 162

以下代码受matlab quine启发。它基本上只再次输出自身两次。提示是，对于任何迭代，我们都有n代码n-1行和换行符\n。因此，随着n逼近无穷大，代码行与换行之间的比率接近1，这同时保证了熵的严格单调增长。这也意味着我们可以Hinf通过仅考虑第零代代码（其中包含与代码行相同的换行符）来轻松进行计算。（由于收敛速度很快，因此可以通过实验确认）。

a=['ns}z2e1kGe1116k6111gE16;:61kGe1116k6111gE16;:6ek7;:61gg3E1g6;:6ek7;:61gg3E1'];
disp(['a=[''',a,'''];',10,'a=[''',a,'''];',10,[a-10,']]);'],10,[a-10,']]);']]);