组合难题！

简介：组合逻辑

组合逻辑（CL）基于称为组合器的东西，它们基本上是函数。有两个基本的“内置”组合器S和K，稍后将进行说明。

左联想

CL是左关联的，这意味着可以删除包含花药的另一对花括号中最左边的花括号，并将其放开。例如，如下所示：

((a b) c)

可以减少到

(a b c)

在(a b)大括号的最左边的位置((a b) c)，因此可以将其删除。

左关联的一个更大的例子（方括号是解释）：

  ((a b) c ((d e) f (((g h) i) j)))
= (a b c ((d e) f (((g h) i) j)))   [((a b) c...) = (a b c...)]
= (a b c (d e f (((g h) i) j)))     [((d e) f...) = (d e f...)]
= (a b c (d e f ((g h i) j)))       [((g h) i) = (g h i)]
= (a b c (d e f (g h i j)))         [((g h i) j) = (g h i j)]

当一对以上的物体缠绕在一起时，也可以减小括号。例子：

((((a)))) -> a
a ((((b)))) -> a b
a (((b c))) -> a (b c) [(b c) is still a group, and therefore need brackets.
                        Note that this doesn't reduce to `a b c`, because
                        `(b c)` is not on the left.]

内建

CL有两个“内置”组合器，S和K，它们可以像这样切换对象（单个组合器，或一组包围在括号内的组合器/组）：

K x y = x
S x y z = x z (y z)

在哪里x，y并z能替身什么。

的一个例子S，并K如下：

  (S K K) x [x is a stand-in for anything]
= S K K x   [left-associativity]
= K x (K x) [S combinator]
= x         [K combinator]

另一个例子：

  S a b c d
= a c (b c) d [combinators only work on the n objects to the right of it,
               where n is the number of "arguments" n is defined to have -
               S takes 3 arguments, so it only works on 3 terms]

以上是普通CL语句的示例，其中该语句无法进行进一步评估，并在有限的时间内获得最终结果。有一些非正常的语句（CL语句不会终止，并且会一直被永远评估），但是它们不在挑战的范围之内，也不需要覆盖。

如果您想了解有关CL的更多信息，请阅读Wikipedia页面。

任务：

您的任务是给定参数数量以及它作为输入求值的结果，使额外的组合器如下所示：

{amount_of_args} = {evaluated}

其中{amount_of_args}是一个等于args数的正整数，并且{evaluated}由：

参数最多为args的数量，1第一个参数2为第二个参数，依此类推。
- 您可以确保args数量以上的参数编号（因此4，{amount_of_args}仅当when 3）不会出现在中{evaluated}。
括号 ()

因此，输入示例包括：

3 = 2 3 1
4 = 1 (2 (3 4))

第一个输入请求一个R带有三个参数（R 1 2 3）的组合器（例如），然后求和为：

R 1 2 3 -> 2 3 1

第二个输入要求这样做（使用组合器名称A）：

A 1 2 3 4 -> 1 (2 (3 4))

给定这种格式的输入，您必须返回S，K和字符串，()当用组合器名称替换并使用参数运行时，{evaluated}当命令块被替换为该组合器名称时，返回与该块相同的求值语句。

输出的combinator语句可能会删除其空格，并删除了外括号，因此(S K K (S S))可以将变为SKK(SS)。

如果你想测试你的程序的输出，@aditsu取得了组合逻辑分析器（其中包括S，K，I甚至其他的像B和C）在这里。

得分：

由于这是一个metagolf，因此在给出这50个测试用例的情况下，此挑战的目的是在输出中实现尽可能少的字节数。请在答案中输入50个测试用例的结果，或制作一个pastebin（或类似的东西）并发布指向该pastebin的链接。

如果出现平局，则以最早的解决方案为准。

规则：

您的答案必须返回正确的输出-因此给定输入，它必须根据任务中的定义返回正确的输出。
每个测试用例的答案必须在一小时内在现代笔记本电脑上输出。
不允许对解决方案进行任何硬编码。但是，您最多可以对10个组合器进行硬编码。
您的程序每次必须为相同的输入返回相同的解决方案。
您的程序必须为给定的任何输入返回有效结果，而不仅仅是测试用例。

metagolf test-battery logic

— 基督教
source

您如何确保人们不会偷走其他答案中发现的组合器？

— 致命

@Fatalize没什么大不了的，因为人们可以从其他人的答案中汲取灵感，并以此为基础创建更好的答案。

— clismique

说到灵感，我注意到当期望的结果不包含时1，您可以1从所有内容中减去，然后在中包装该答案的解决方案K()。例如：解2 -> 1是K，因此对于溶液3 -> 2是KK，对于溶液4 -> 3是K(KK)等

— 尼尔

Answers:

哈斯克尔（Haskell），得分5017

这结合了笨可能算法抽象消除（（λ X。X）= I;（λ X。Ý）= K Ý ;（λ X。中号 Ñ）= S（λ X。中号）（λ X。Ñ）），并在每次应用后都使用窥孔优化器。最重要的优化规则是S（K x）（K y）↦K（xy），这可以阻止算法始终呈指数级增长。

规则集被配置为字符串对列表，因此很容易使用新规则。作为为此目的重新使用输入解析器的一项特殊好处，S，K和I也被输入组合器接受。

规则不是无条件适用的；而是保留旧版本和新版本，仅当非最佳版本的长度超过最佳版本的长度超过某个常数（当前为3个字节）时，才修剪它们。

通过将I视为基本组合器，直到输出级将其重写为SKK为止，分数会有所提高。这样，KI = K（SKK）可以在输出时缩短为SK的4个字节，而不会混淆其余的优化。

{-# LANGUAGE ViewPatterns #-}

import qualified Data.IntMap as I
import qualified Data.List.NonEmpty as N
import System.IO

data Term
  = V Int
  | S
  | K
  | I
  | A (N.NonEmpty (Int, Term, Term))
  deriving (Show, Eq, Ord)

parse :: String -> (Term, String)
parse = parseApp . parse1

parseApp :: (Term, String) -> (Term, String)
parseApp (t, ' ':s) = parseApp (t, s)
parseApp (t, "") = (t, "")
parseApp (t, ')':s) = (t, ')' : s)
parseApp (t1, parse1 -> (t2, s)) =
  parseApp (A (pure (appLen (t1, t2), t1, t2)), s)

parse1 :: String -> (Term, String)
parse1 (' ':s) = parse1 s
parse1 ('(':(parse -> (t, ')':s))) = (t, s)
parse1 ('S':s) = (S, s)
parse1 ('K':s) = (K, s)
parse1 ('I':s) = (I, s)
parse1 (lex -> [(i, s)]) = (V (read i), s)

ruleStrings :: [(String, String)]
ruleStrings =
  [ ("1 3(2 3)", "S1 2 3")
  , ("S(K(S(K1)))(S(K(S(K2)))3)", "S(K(S(K(S(K1)2))))3")
  , ("S(K(S(K1)))(S(K2))", "S(K(S(K1)2))")
  , ("S(K1)(K2)", "K(1 2)")
  , ("S(K1)I", "1")
  , ("S(S(K1)2)(K3)", "S(K(S1(K3)))2")
  , ("S(SI1)I", "S(SSK)1")
  ]

rules :: [(Term, Term)]
rules = [(a, b) | (parse -> (a, ""), parse -> (b, "")) <- ruleStrings]

len :: Term -> Int
len (V _) = 1
len S = 1
len K = 1
len I = 3
len (A ((l, _, _) N.:| _)) = l

appLen :: (Term, Term) -> Int
appLen (t1, S) = len t1 + 1
appLen (t1, K) = len t1 + 1
appLen (K, I) = 2
appLen (t1, t2) = len t1 + len t2 + 2

notA :: Term -> Bool
notA (A _) = False
notA _ = True

alt :: N.NonEmpty Term -> Term
alt ts =
  head $
  N.filter notA ts ++
  [A (N.nub (a N.:| filter (\(l, _, _) -> l <= minLen + 3) aa))]
  where
    a@(minLen, _, _) N.:| aa =
      N.sort $ do
        A b <- ts
        b

match :: Term -> Term -> I.IntMap Term -> [I.IntMap Term]
match (V i) t m =
  case I.lookup i m of
    Just ((/= t) -> True) -> []
    _ -> [I.insert i t m]
match S S m = [m]
match K K m = [m]
match I I m = [m]
match (A a) (A a') m = do
  (_, t1, t2) <- N.toList a
  (_, t1', t2') <- N.toList a'
  m1 <- match t1 t1' m
  match t2 t2' m1
match _ _ _ = []

sub :: I.IntMap Term -> Term -> Term
sub _ S = S
sub _ K = K
sub _ I = I
sub m (V i) = m I.! i
sub m (A a) =
  alt $ do
    (_, t1, t2) <- a
    pure (sub m t1 & sub m t2)

optimize :: Term -> Term
optimize t = alt $ t N.:| [sub m b | (a, b) <- rules, m <- match a t I.empty]

infixl 5 &

(&) :: Term -> Term -> Term
t1 & t2 = optimize (A (pure (appLen (t1, t2), t1, t2)))

elim :: Int -> Term -> Term
elim n (V ((== n) -> True)) = I
elim n (A a) =
  alt $ do
    (_, t1, t2) <- a
    pure (S & elim n t1 & elim n t2)
elim _ t = K & t

paren :: String -> Bool -> String
paren s True = "(" ++ s ++ ")"
paren s False = s

output :: Term -> Bool -> String
output S = const "S"
output K = const "K"
output I = paren "SKK"
output (V i) = \_ -> show i ++ " "
output (A ((_, K, I) N.:| _)) = paren "SK"
output (A ((_, t1, t2) N.:| _)) = paren (output t1 False ++ output t2 True)

convert :: Int -> Term -> Term
convert 0 t = t
convert n t = convert (n - 1) (elim n t)

process :: String -> String
process (lex -> [(n, lex -> [((`elem` ["=", "->"]) -> True, parse -> (t, ""))])]) =
  output (convert (read n) t) False

main :: IO ()
main = do
  line <- getLine
  putStrLn (process line)
  hFlush stdout
  main

在线尝试！

输出量

S（KS）K
S（K（SS（KK）S））（S（KK）S）
S（K（SS））（S（KK）K）
S（K（SS（KK）））（S（KK）（S（KS）（S（K（S（SKK）））K）））
S（K（S（K（SS（SK）））））（S（K（SS（SK（））））（S（SKK）（SKK））））
KK
S（K（S（S（KS）（S（K（S（SKK）））K））））（S（KK）K）
S（K（SS（K（S（KK）（S（SKK）（SKK））））））（S（SSK（KS））（S（S（KS）（S（KK）（S（KS）） K）））（K（S（K（S（SSK）））K）））））
S（K（S（KK）））（S（K（S（S（SKK）（SKK））））K）
SK
S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））
S（K（SS（K（S（KK）K））））（S（KK）（S（KS）（S（SSK（KS））（S（K（SS））（S（KK）K））））））
S（K（S（K（S（K（SS（KK）））（S（KK）S）））））（S（K（SS（KK）））（S（KK）（S（KS）（S（K（S（SKK）））K））））
S（K（S（K（S（K（SS（KK）））（S（KK）S））））））（S（K（S（SK（SKK）））K）
S（K（S（K（S（KS）K））））（S（KS）K）
S（K（S（KS）K））
S（K（S（K（S（K（SS（K（S（S（KS（KS）（S（KK）（SSK））））（K（S（SKK）（SKK）））））））（S （KK）（S（KS）K））））））（S（K（SS（K（SSK））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（SSK））））））
SSS（KK）
KK
S（KK）（S（KK）（S（S（KS）K）（S（K（S（SKK）））（S（K（S（SKK）））K）））））
S（S（KS）（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））））（）（K（S（K（S（ S（KS）（S（K（S（SKK）））K））））（S（KK）K）））
S（KK）
S（KS）（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））
S（K（S（K（S（KS）K）））））（S（K（S（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））））））（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））
S（KS）（S（KK）（S（KS）K））
S（S（KS）（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（S（K（SS（KK）））））））（S（KS）（S（KK）（S （SSK（KS））（S（KS）（S（SKK）（SKK）））））））））））））（）（K（S（S（KS）（S（K（S（K（S（KS（KS ）（S（K（S（KS）（S（K（S（SKK）））K））））））））（）（S（K（S（SKK）））K）））（S（K（ S（K（S（KK）K））））（S（K（S（SK（KK）））K）））））
S（K（S（K（S（K（SS（K（S（K（S（S（KS（KS））（S（K（S（SKK）））K））））（S（KK）K））））））（S（KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K（S（K（SS））（S（KK）K）））））（S（ KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））））））
K（S（KK））
S（K（S（K（S（K（S（K（S（KS）K）））））（S（K（S（S（KS）（S（KK）（S（K（SS）））（ S（KK）K））））））K））））））））（S（K（S（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））））））（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））
S（KK）（S（K（SSS（KK））））
K（SSS（KK））
S（K（SS（K（S（S（KS）（S（KK）（S（KS）K））））（K（S（K（S（SK（SK（K）））K））））））（S （KK）（S（KS）（SS（S（S（KS）（S（KK）（S（KS））（S（K（S（KS）（S（KK）（S（KS）K ））））））（（KK））））
S（K（S（K（S（K（S（K（SS（KK）））（S（KK）S）））））））））（S（K（SS（K（S（K（S（KK）K））））（S（KK）（SSS（KS））））
S（K（S（K（S（KK）K））））
S（K（S（K（S（K（S（K（SS（K（S（K（S（SK（SKK）））K）））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS（K（S（K（S（SKK）））K））））（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））））））））））（S（K（S（S（KS）（S（K（S（SK（SKK）））K））））（S（KK（K）K））
S（K（SS（K（S（K（SS（K（S（K（S（SK（SK（K））））K））））（S（KK）（S（KS）（SS（S（S（KS））（S（KK）（S（KS）（S（K（S（SKK）））K））））（KK）））））））））））））））（S（KK）（S（KS）（S（ KK）（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（SS（KK）））（S（KK）S））））））））））（）（S（K（SS （KK）））（S（KK）（S（KS）（S（K（S（KS）（S（KK）（S（KS）K））））））））））））））））））
S（KK）（S（K（S（K（S（KK）（S（KK）K）））））（SS（SK））））
K（S（K（SSS（KK））））
S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（SS（K（S（K（S（S（S（KS（S ）））K））））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K（S（K（SS（S ））（S（KK）K））））（S（KK）（S（KS）K））））））））（S（K（SS（K（S（K（SS）））（S（ KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K（S（K（SS））（S（KK）K））））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））））））））
S（K（S（KK）））（S（KS）（S（KK）（S（K（S（KK）（S（KK）K）））））））
S（K（SS（K（S（S（KS）（S（KK）（S（KS）K））））（K（S（K（S（SK（SKK）））K））））））（S （KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（S（K（S（K（SS（K（S（K（SS））（S（KK）K））（KK）（S（KS）K））））））（S（K（SS（K（S（KK）（S（K（SS））K）））））（S（KK）（S（ K（SS））（S（KK）（S（K（S（K（S（KK）（S（KS）K）））））（（S（KS）K）））））））））））））））
S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（SS（K（S（K（S（K（s（s （S（K（S（SK（K（K）））））））（（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS （K（S（K（SS））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K））））））））（S（K（SS（K（S（K（S（ K（SS））（S（KK）K））））（S（KK）（S（KS）K）））））））））（S（K（SS（K（S（K（S）））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K））））））））（S（K（SS（K（S（K（SS）））（S（KK） K）））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））））
K（K（K（K（K（S（KK）（S（KK）（S（K（SS（SK）））（SSK）））））））））））
S（KK）（S（K（S（KK）（S（KK）（S（KK）（S（KK）K）））））））
S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（s（k（s（ K（S（S（KS）（S（K（S（SKK）））K））））（S（KK）K）））））（（S（KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K（S（K（SS））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K）））））））（） K（SS（K（S（K（SS））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K））））））））（）（S（K（SS（K （S（K（SS））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K））））））））（S（K（SS（K（S（K（ SS））（S（KK）K））））（S（KK）（S（KS）K））））））））（S（K（SS（K（S（K（SS））（S （KK）K））））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））））
S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（SS（K（S（K（SS（K（S（K（SS（KK））） KS）（S（K（S（SK（SK（K）））K）））））））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（SSK（KS）））（S（K（SS ））（S（KK）K））））））））））））））））））（）（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS（K（S（KK）（S（KS））（S（KK）（S（K（SS（K（S（KK（S（KS）K）））））））（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）（S （K（SS（K（S（KK（S））K）））（S（KK（S）））））））））））））））））））（S（KK）（S（K（SS））K）））））））））））（S（K（SS（K（S（KK））（S（K（S（S（KS）（S（KK）（S（K（SS）））（S（KK）） K））））））（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））））（S（KK）S）））））））））（S（K （SS（K（S（K（S（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））））））（S（KK）（S（K（ SS））（S（KK）K））））））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（S（K（S（KS（KS））（S（KK））（ S（KS）K）））））））（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））））））））））））））））））
S（K（SS（K（SS（S（S（KS）（S（KK）S）））（KK）））））（S（KK）（S（KS）（S（K（S（K （S（KS）（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（S（K（S（K（SS（K（S（K（S（S（S（KS））（S（ KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））））（S （KK）（S（KS）K）））））））））））））））（S（K（S（S（KS）（S（KK）（S（K（SS）））（S（ KK）（S（K（S（K（S（KS（K）K）））））（S（K（SS（K（S（K（SS））（S（KK）K）））））（S（ KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））））））））））））））（S（KK）（S（K（S （K（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS（K（S（KK）（S（KS）K））））））（S（KK）（S（K （SS））K））））））））））））（S（KS）（S（KK）（S（K（SS（K（S（KK）K）））））（S（KK）（S（ KS）（S（SSK（KS））（S（K（SS（KK）））（S（KK）（S（KS）（S（K（S（SK（SKK）））K）））））））））））））））））））
K（S（K（S（KK）（S（K（S（KK）（S（K（S（KK）（S（KK）K））））））））））））））
S（KK）（S（K（S（K（S（KK）（S（K（S（K（S（KK））（S（K（S（K（S（KK））（S（K（S（ K（S（KK）（S（K（S（KK）））（S（K（S（SKK）））K）））））））））（）（S（K（S（SKK）））K）））））））（S（K（S（SKK））K）））））））（S（K（S（SKK）））K））））））））（S（K（S（SKK））））））） K））
S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（KK））））（S（K（SS（K（S（K（S（S（S（KS））（S（K（ S（SKK）））K））））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K）））））））））（S（K（SS（K（S （K（SS））（S（KK）K））））（S（KK）（S（KS）K））））））））（S（K（SS（K（S（K（SS）））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（S（K（S（KK）（S（KK））（S（KK））（S（KK）K）））））））（）（S（K（SS））（S（KK）K）））））））））

— 安德斯·卡塞格（Anders Kaseorg）
source

是否可以使表达式自动优化（例如S (K x) (K y) = K (x y)）？

— CalculatorFeline

@CalculatorFeline我不明白你的问题；S（ķ X）（K Ý）被自动优化，以K（XY）。

— Anders Kaseorg '17

等等，这些表达式是表示为部分应用函数还是其他？如果部分应用了函数，那么也许您可以做些我最后的评论。

— CalculatorFeline

@CalculatorFeline表示形式看起来像例如3 = 1（2 3）↦2 = S（K1）（S（K2）I）↦2 = S（K1）2↦1 = S（S（KS（S））（S （KK）（K1）））I↦1 = S（S（KS）（K（K1）））I↦1 = S（K（S（K（K1））））I↦1 = S（K（S（K（K1）））））I↦1 = S（K1）↦S（KS）（S（KK）I）↦S（KS）K。如您所见，我们已经多次使用规则S（K x）（K y）↦K（xy），以及我在中列出的其他规则ruleStrings。如果我们不这样做，输出将成倍增长：对于这个小例子，我们将获得S（S（KS）（S（S（KS）（S（KK）（KS）））（S（S （KS）（S（KK）（KK）））（S（KK）（SKK）））））（S（S（KS）（S（S（KS）（S（KK）（KS））））（ S（S（KS）（S（KK）（KK）））（SK））））（S（KK）（SK）））代替S（KS）K。

— Anders Kaseorg '17

解决方案长度总和：12945 8508 5872

Haskell代码从stdin接受输入行，而不管分隔符是=还是->：

data E=S|K|V Int|A E E deriving Eq

instance Show E where
  showsPrec _ S = showChar 'S'
  showsPrec _ K = showChar 'K'
  showsPrec _ (V i) = shows i
  showsPrec p (A e f) = showParen (p>0) $ showsPrec 0 e . showsPrec 1 f

type SRead a = String -> (a,String) -- a simpler variation of ReadS

parse :: String -> E
parse s = let (e,"")=parseList (s++")") in e
parseList :: SRead E
parseList s = let (l,s')=parseL s in (foldl1 A l,s')
parseL :: SRead [E]
parseL (c:s) | c==' ' = parseL s
             | c==')' = ([],s)
parseL s = let (p,s')=parseExp s; (l,s'')=parseL s' in (p:l,s'')
parseExp :: SRead E
parseExp ('(':s) = parseList s
parseExp s = let [(n,s')]=reads s in (V n,s')

k e = A K e
s e f = A (A S e) f
i = s K K
s3 e f g = A (s e f) g
sk = A S K
ssk e f = A (s3 S K e) f

n `invars` (A e f) = n `invars` e || n `invars` f
n `invars` (V m)   = n==m
_ `invars` _       = False

comb (A e f) = comb e && comb f
comb (V _)   = False
comb _       = True

abstract _ (A (A S K) _) = sk
abstract n e | not (n `invars` e) = k e
abstract n (A e (V _)) | not (n `invars` e) = e
abstract n (A (A (V i) e) (V j)) | n==i && n==j =
                                   abstract n (ssk (V i) e)
abstract n (A e (A f g)) | comb e && comb f =
                                   abstract n (s3 (abstract n e) f g)
abstract n (A (A e f) g) | comb e && comb g =
                                   abstract n (s3 e (abstract n g) f)
abstract n (A (A e f) (A g h)) | comb e && comb g && f==h =
                                   abstract n (s3 e g f)
abstract n (A e f) = s (abstract n e) (abstract n f)
abstract n _ = i

abstractAll 0 e = e
abstractAll n e = abstractAll (n-1) $ abstract n e

parseLine :: String -> (Int,E)
parseLine s = let [(n,s')] = reads s
                  s''=dropWhile(`elem` " =->") s'
              in (n, parse s'')

solveLine :: String -> E
solveLine s = let (n,e) = parseLine s in abstractAll n e

main = interact $ unlines . map (show . solveLine) . lines

它实现了John Tromp：二进制Lambda微积分和组合逻辑的 3.2节中改进的括号抽象，该链接摘自Wikipedia上有关组合逻辑的文章。最有用的特殊情况仅使用S组合器来缓和子项，以避免变量的深度嵌套。任何测试用例都不需要检查某些子项是否相等的用例。虽然没有特殊的情况可以处理W组合器（请参阅Peter的答案），但这些规则可以共同找到较短的SS(SK)表达式。（我首先通过尝试优化对的内部调用而犯了一个错误abstract，然后这种W优化没有发生，并且总体结果长了16个字节。）

这是测试用例的结果：

S(KS)K
S(K(S(K(SS(KK)))K))S
S(K(S(K(SS))K))K
S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))(S(SKK))))K
S(K(S(K(SS(SK)))))(S(K(SS(SK)))(S(SKK)(SKK)))
KK
S(K(S(K(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K)))K))K
S(K(S(K(SS(K(S(KK)(S(SKK)(SKK))))))(S(KS))))(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(SSK)))K))))K))S))K)
S(K(S(K(S(KK)))(S(S(SKK)(SKK)))))K
SK
S(K(S(K(S(K(S(S(KS)(S(KS)))))K))K))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(KK)K))))K))S))(S(KS))))(SS)))K))K
S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))(S(SKK))))K)
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))))(S(SKK))))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(KS)K))))K))S))K))S))K
S(K(S(KS)K))
S(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(S(KS)(S(K(SS(K(S(SKK)(SKK)))))K))K))))K))S))K))(S(KK)K)))))K))S))K))S))K))(S(K(S(KK)K))K)
S(KK)(S(KK))
KK
S(K(S(KK)K))(S(S(KS)K)(S(K(S(K(S(SKK)))(S(SKK))))K))
S(K(S(K(S(K(S(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))K))K)))K))K))K
S(KK)
S(K(S(K(S(K(S(K(S(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))K))K))K))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(KS)(S(KS))))))K))K))K
S(K(S(K(S(KS)K))S))K
S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))(S(KS))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))))))(S(SKK))))K)(S(K(S(K(S(K(S(KK)K))))(S(SKK))))K)))))K))S))K))S))K))S))(S(SKK)(SKK)))
S(K(S(K(S(K(S(K(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))K))K))))K))K))K)))K))K))K))K
K(S(KK))
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(KS)(S(KS))))))K))K))K)
S(KK)(S(K(S(KK)(S(KK)))))
K(S(KK)(S(KK)))
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)))(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(SKK)))K))))K))S))K)))))K))S))K))S))(S(K(S(K(S(K(S(KS)K))S))K)))
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))))))(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(KK)K))))K))S))(S(KS)))
S(K(S(K(S(KK)K))))
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(K(S(KS)(S(SKK))))K)))))(S(SKK))))K)))K))K))K))))))(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))K))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)))(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(K(S(KK)))(S(SKK))))K))))K))S))K))S))(S(SKK))))K)))))K))S))K))S))(S(K(S(K(S(K(S(KS)K))S))K))))
S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(KK)K))K)))))(SS(SK))
K(S(K(S(KK)(S(KK)))))
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))K))K))))K))K))K))))K))K))K))K))))K))K))K))K))K)))K))K))K))K))K))K
S(K(S(K(S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(KK)K))K)))))))S))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(K(S(K(S(KS)K))S))K))))K))))(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(SKK)))K))))K))S))K)))))K))S))K))S))K))S))K))S))K))S))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))K))K))))K))K))K))))K))K))K))K))))K))K))K))K))K))))K))K))K))K))K))K)))K))K))K))K))K))K))K
K(K(K(K(K(S(K(S(KK)K))(S(K(SS(SK)))(SSK)))))))
S(KK)(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KK)K))K))K))K)))
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))K))K))))K))K))K))))K))K))K))K))))K))K))K))K))K))))K))K))K))K))K))K))))K))K))K))K))K))K))K)))K))K))K))K))K))K))K))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(K(S(KK)K))K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(KK)K))))K))S))(S(KS)))))))(S(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))(S(SKK))))K)))))K))K))K))))K))K))K))K))K))))K))K))K))K))K))K))K)))K))K))K))K))K))K))K))K))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KK)K))K))K))K))K))K))K))))K))S))(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(K(S(K(S(KK)K))K))K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KK)K))))))))(S(K(S(K(SS(KK)))K))S)))))K))S))K))S))K))S))K))S))(S(KS))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))(S(SKK))))K))
K(S(K(S(KK)(S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(KK)K))K)))))))))
S(K(S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(K(S(KK)(S(KK))))(S(SKK))))K)))))(S(SKK))))K)))))(S(SKK))))K)))))(S(SKK))))K)))))(S(SKK))))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KK)K))K))K))K)))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))K))K))))K))K))K))))K))K))K))K))))K))K))K))K))K

— 克里斯蒂安·西弗斯
source

8486使用S，K，I，W

说明

标准算法（如描述于例如第18章要素模仿鸟）使用四种情况下，对应于该组合子S，K，I = SKK，和简单的左关联。我认为这就是克里斯蒂安的答案所要实现的。这是足够的，但不一定是最佳的，并且由于允许我们对10个组合器进行硬编码，因此留下了7个选项。

其他知名的组合组合器是

B x y z = x (y z)
C x y z = x z y
W x y = x y y

其中，一起K，构成一个完整的基础。在SK中，这些是

B = S (K S) K
C = S (S (K (S (K S) K)) S) (K K)
W = S S (S K)

和SKI规则为B和得出相同的表达式C，但因为W它们得出S S (K (S K K))。因此，我选择实施W为特例。

程序（CJam）

e# A tests whether argument is an array
{W=!!}:A;

e# F "flattens" an expression by removing unnecessary parentheses, although if the expression is a primitive
e# it actually wraps it in an array
{
  e# A primitive is already flat, so we only need to process arrays
  _A{
    ee{
      ~
      e# Stack: ... index elt
      e# First recurse to see how far that simplifies the element
      F
      e# If it's an array...
      _A{
        e# ... we can drop a level of nesting if either it's the first one (since combinator application
        e# is left-associative) or if it's a one-element array
        _,1=@!|{
          e# The tricky bit is that it might be a string, so we can't just use ~
          {}/
        }*
      }{
        \;
      }?
    }%
  }{a}?
}:F;


qN%{

e# Parse line of input
"->=()"" [[[]"er']+~
e# Eliminate the appropriate variables in reverse order. E eliminates the variable currently stored in V.
\,:)W%{
  e# Flatten current expression
  F

  e# Identify cases; X holds the eXpression and is guaranteed to be non-primitive
  :X
  [
    XVa=                  e# [V]
    Xe_V&!                e# case V-free expression
    X)_A0{V=}?\e_V&!*     e# case array with exactly one V, which is the last element
    X_e_Ve=~)>[VV]=X,2>*  e# case array with exactly two Vs, which are the last two elements
  ]
  1#
  e# Corresponding combinators
  [
    {;"SKK"}              e# I
    {['K\]}               e# K
    {);}                  e# X (less that final V)
    {););['S 'S "SK"]\a+} e# W special-cased as SS(SK) because the general-case algorithm derives SS(K(SKK))
    {['S\)E\E\]}          e# S (catch-all case)
  ]=~
}:EfV

e# Format for output
F
{
  _A{
    '(\{P}%')
  }*
}:P%

oNo}/

在线测试套件

生成的输出：

S(KS)K
S(S(KS)(S(KK)S))(KK)
S(K(SS))(S(KK)K)
S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(K(S(SKK)))K))))(KK)
S(K(S(K(SS(SK)))))(S(K(SS(SK)))(S(SKK)(SKK)))
KK
S(K(S(S(KS)(S(K(S(SKK)))K))))(S(KK)K)
S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)K)))(K(S(S(KS)(S(K(S(SKK)))K))(K(SKK)))))))(K(S(KK)(S(SKK)(SKK))))
S(K(S(KK)))(S(K(S(S(SKK)(SKK))))K)
K(SKK)
S(K(S(S(KS)(S(KS)))))(S(KK)(S(KK)K))
S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(SS))(S(KK)K))))))(K(S(KK)K))
S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(KK)))(S(K(S(KS)))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(K(S(SKK)))K))))(KK))))))(K(KK))
S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(KK)))(S(K(S(KS)))(S(K(S(SKK)))K)))))(K(KK))
S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(KK)(S(KS)K)))))(K(S(KS)K))
S(K(S(KS)))(S(KK))
S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(KK)(S(KS)K)))))(K(S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)K)))(K(S(S(KS)(S(S(KS)K)(K(S(SKK)(SKK)))))K)))))(S(KK)K)))))))(S(KK)(S(KK)K))
S(KK)(S(KK))
KK
S(KK)(S(KK)(S(S(KS)K)(S(K(S(SKK)))(S(K(S(SKK)))K))))
S(K(S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(S(KS)(S(K(S(SKK)))K))))(S(KK)K))))))(S(KK)(S(KK)K))
S(KK)
S(K(S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(KS))))))))(S(KK)(S(KK)(S(KK)K)))
S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(K(S(S(KS)(S(KS)))))(S(KK)(S(KK)K))))))))(K(S(KK)(S(KK)K)))
S(KS)(S(KK)(S(KS)K))
S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(K(S(K(S(K(S(KS)))))))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(SKK)(SKK)))))))))(K(S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(K(S(K(S(K(S(SKK)))))))(S(K(S(K(S(KK)))))(S(K(S(SKK)))K))))))(S(K(S(KK)))(S(K(S(KK)))(S(K(S(SKK)))K))))))))))(K(K(KK)))
S(K(S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(K(S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(S(KS)(S(K(S(SKK)))K))))(S(KK)K))))))(S(KK)(S(KK)K))))))))(S(KK)(S(KK)(S(KK)K)))
K(S(KK))
S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(KK)))(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(K(S(K(S(K(S(KS)))))))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(K(S(S(KS)(S(KS)))))(S(KK)(S(KK)K))))))))(K(S(KK)(S(KK)K))))))))))(K(K(S(KK)(S(KK)K))))
S(KK)(S(K(S(KK)))(S(K(S(KK)))))
K(S(KK)(S(KK)))
S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(KK)))(S(K(S(KS)))(S(KK))))))))))(K(S(K(S(KK)))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)K)))(K(S(K(S(SKK)))K)))))
S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(K(S(K(S(KK)))))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(KS)))))(K(S(KK)K))))))))(K(K(KK)))
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— 彼得·泰勒
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