GNU Prolog，98个字节
b(x,0,x).
b(T/H,N,H):-N#=A+B+1,b(H,A,_),b(T,B,J),H@>=J.
c(X,Y):-findall(A,b(A,X,_),L),length(L,Y).
这个答案是一个很好的例子，说明了Prolog如何甚至可以使用最简单的I / O格式。它通过描述问题而不是解决问题的算法以真正的Prolog风格工作：它指定了什么才算是合法的泡沫安排，要求Prolog生成所有这些泡沫安排，然后对它们进行计数。生成需要55个字符（程序的前两行）。计数和I / O采用其他43（第三行，以及将这两部分分开的换行）。我敢打赌，OP不会导致语言与I / O纠缠，这不是问题！（注意：Stack Exchange的语法突出显示使它更难阅读，而不是更容易，因此我将其关闭了）。
说明
让我们从一个实际上不起作用的类似程序的伪代码版本开始：
b(Bubbles,Count) if map(b,Bubbles,BubbleCounts)
and sum(BubbleCounts,InteriorCount)
and Count is InteriorCount + 1
and is_sorted(Bubbles).
c(Count,NPossibilities) if listof(Bubbles,b(Bubbles,Count),List)
and length(List,NPossibilities).
应该很清楚地知道它是如何b工作的：我们通过排序列表（这是多集的简单实现，导致相等的多集比较相等）来表示气泡，单个气泡[]的计数为1，较大的气泡的计数为1等于内部气泡总数加1。对于4的计数，此程序将（如果可行）生成以下列表：
[[],[],[],[]]
[[],[],[[]]]
[[],[[],[]]]
[[],[[[]]]]
[[[]],[[]]]
[[[],[],[]]]
[[[],[[]]]]
[[[[],[]]]]
[[[[[]]]]]
出于某些原因，该程序不适合作为答案，但是最紧迫的是Prolog实际上没有map谓词（编写它会占用太多字节）。因此，相反，我们将程序编写如下：
b([], 0).
b([Head|Tail],Count) if b(Head,HeadCount)
and b(Tail,TailCount)
and Count is HeadCount + TailCount + 1
and is_sorted([Head|Tail]).
c(Count,NPossibilities) if listof(Bubbles,b(Bubbles,Count),List)
and length(List,NPossibilities).
这里的另一个主要问题是，由于Prolog评估顺序的工作方式，运行时它将陷入无限循环。但是，我们可以通过重新安排程序来解决无限循环：
b([], 0).
b([Head|Tail],Count) if Count #= HeadCount + TailCount + 1
and b(Head,HeadCount)
and b(Tail,TailCount)
and is_sorted([Head|Tail]).
c(Count,NPossibilities) if listof(Bubbles,b(Bubbles,Count),List)
and length(List,NPossibilities).
这看起来可能很怪异-我们先将计数加在一起，然后才知道它们是什么-但是GNU Prolog #=能够处理这种非因果算法，因为它是的第一行b，并且HeadCount和TailCount必须都小于Count（已知），它用作自然地限制递归项可以匹配多少次的方法，从而使程序始终终止。
下一步是打高尔夫球。使用单字符变量名称，使用:-for if和,for的缩写and，使用setof而不是listof（它具有较短的名称并在这种情况下产生相同的结果）和使用sort0(X,X)而不是is_sorted(X)（因为is_sorted实际上不是真正的函数，我做了）
b([],0).
b([H|T],N):-N#=A+B+1,b(H,A),b(T,B),sort0([H|T],[H|T]).
c(X,Y):-setof(A,b(A,X),L),length(L,Y).
这很短，但是有可能做得更好。关键的见解是，[H|T]列表语法确实非常冗长。正如Lisp程序员所知道的，列表基本上只是由cons单元组成的，而这些单元基本上只是元组，并且该程序的任何部分都几乎没有使用列表内置函数。Prolog有几种非常短的元组语法（我最喜欢的是A-B，但我第二喜欢的是A/B，我在这里使用它是因为在这种情况下，它会产生易于阅读的调试输出）；而且我们还可以nil在列表的末尾选择我们自己的单字符，而不是被两个字符所困扰[]（我选择了x，但基本上任何方法都可以）。因此，除了[H|T]，我们可以使用T/H和从中获取输出b 看起来像这样（请注意，元组的排序顺序与列表的排序顺序略有不同，因此它们的顺序与上面的顺序不同）：
x/x/x/x/x
x/x/x/(x/x)
x/(x/x)/(x/x)
x/x/(x/x/x)
x/(x/x/x/x)
x/x/(x/(x/x))
x/(x/x/(x/x))
x/(x/(x/x/x))
x/(x/(x/(x/x)))
这比上面的嵌套列表难读，但是有可能。在思维上跳过xs，并将其解释/()为气泡（或简单地解释为/没有内容的退化气泡，如果()后面没有内容的话），并且元素与上面显示的列表版本具有1对1（如果无序）的对应关系。
当然，此列表表示形式尽管短得多，但仍具有主要缺点。它不是语言内置的内容，因此我们不能sort0用来检查列表是否已排序。sort0但是无论如何，它都是非常冗长的，所以手动执行操作并不会造成很大的损失（实际上，在[H|T]列表表示中手动执行操作的字节数完全相同）。这里的关键见解是，该方案的书面检查，看是否列表进行排序，如果它的尾巴进行排序，如果它的尾巴进行排序，依此类推; 有很多多余的检查，我们可以加以利用。取而代之的是，我们将检查以确保前两个元素是正确的（这确保了在检查列表本身及其所有后缀之后，列表将最终进行排序）。
第一个元素很容易访问；那只是列表的头H。但是，第二个元素很难访问，并且可能不存在。幸运的是，x它少于我们正在考虑的所有元组（通过Prolog的广义比较运算符@>=），因此我们可以认为单例列表的“第二个元素”是这样x，程序就可以正常工作。至于实际访问第二个元素，最有趣的方法是在中添加第三个参数（out参数）b，该参数x在基本情况和H递归情况下返回；这意味着我们可以从第二个递归调用的输出B中获取尾部的头部，当然，尾部的头部是列表的第二个元素。所以b看起来现在这个样子：
b(x,0,x).
b(T/H,N,H):-N#=A+B+1,b(H,A,_),b(T,B,J),H@>=J.
基本情况非常简单（空列表，返回计数为0，空列表的“第一个元素”为x）。递归情况的开始方式与以前相同（只是使用T/H符号而不是[H|T]，并H作为额外的out参数）；我们从头部的递归调用中忽略了多余的参数，但将其存储在J尾部的递归调用中。然后，我们要做的就是确保H大于或等于J（即“如果列表中至少有两个元素，则第一个大于或等于第二个元素），以确保列表最终排序。
不幸的是，setof如果我们尝试将的先前定义c与的这个新定义一起使用，将是一个合适的选择b，因为它对待未使用的out参数的方式与SQL差不多GROUP BY，这完全不是我们想要的。可以对其进行重新配置以执行我们想要的操作，但是重新配置会花费很多字符。相反，我们使用findall，它具有更方便的默认行为，并且仅长了两个字符，从而为我们提供了以下定义c：
c(X,Y):-findall(A,b(A,X,_),L),length(L,Y).
这就是完整的程序；首先生成气泡模式，然后花费整个字节数对其进行计数（我们需要相当长的时间findall才能将生成器转换为列表，然后不幸地冗长地命名length以检查该列表的长度，并为函数声明添加了样板）。
