任务

您将得到一个正整数，并且必须输出具有这么多节点的“ 自补图 ”。如果您不知道什么是自助图，那么维基百科的文章将无济于事，因此以下是两种解释，一种是技术性的解释，另一种是非技术性的解释。

非技术

图是一组由线连接的节点。每对点可以通过一条线连接或不连接。图的“补码”是获取图并连接所有未连接的节点并断开所有已连接的节点的结果。

自补图是可以将补码重新排列为原始形状的图。下面是一个自补图的示例以及如何进行演示。

这是一个有5个节点的图形：

我们将用红色虚线突出显示可以进行连接的所有地方：

现在，我们将通过交换红色和黑色边缘来找到图形的补码：

这看起来不像原始图，但是如果我们像这样移动节点（每个步骤交换两个节点）：

我们得到原始图！该图及其补图是同一图

技术

自补图是与其补图同构的图。

技术指标

通过最适合您的方法，您将收到一个正整数。然后，您将以您认为合适的任何方法输出图形，包括但不限于邻接矩阵表单，邻接列表表单，当然还有图片！输出的图必须是其自己的补码，并且具有与整数输入一样多的节点。如果不存在这样的图形，则必须输出一个伪造的值。

这是代码高尔夫球，您应努力减少字节数。

测试用例

以下是几个n的可能输出的图片

4

5

9

Haskell，77个字节

f n=[(a,b)|b<-[1..n],a<-[1..b-1],mod n 4<2,mod(a+(last$b:[a|odd n,n==b]))4<2]

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这使用易于计算的显式标准来确定边是否(a,b)属于图形。实例化此算法，并在模4值之间进行置换循环

4*m -> 4*m+1 -> 4*m+2 -> 4*m+3 -> 4*m

我们包括两个端点顶点加到0或1模4的边。请注意，按此置换循环的顶点每个顶点的总和加2模4，因此交换边和非边。这给出了与边缘互补的顶点排列。

如果图形的额外节点超出4的倍数，则将其单独放入一个循环中。当其他顶点是偶数时，我们将其包括在内。对顶点进行置换会翻转奇偶校验，因此图保持自补。

如果顶点的数目不是0或1模4，则不可能有自补图，因为完整图中的边数是奇数

总的来说，这是条件：

• 如果输入n不是0或1模4，则输出一个空列表
• 否则，如果n是偶数，包括所有边缘(a,b)与a<b和a+b等于0或1模4。
• 否则，如果n为奇数，则执行相同的操作，(a,n)但当a为偶数时，则包括表单的边缘。

该代码通过更换条件结合了第二和第三种情况mod(a+b)4<2与mod(a+a)4<2当两个odd n和b==n。

Brachylog 2，24字节

{⟦₁⊇Ċ}ᶠpḍ.(\\ᵐcdl?∨?<2)∧

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此函数返回一对包含两个邻接表的函数：一个用于图，一个用于补图。（在TIO上的Brachylog解释器中，您可以要求它通过提供Z命令行参数来评估函数而不是完整程序。）例如，输入的输出为5：

[[[1,2],[1,3],[1,5],[3,5],[4,5]],[[2,5],[2,3],[2,4],[3,4],[1,4]]]

这是一张图片（显示两个图）：

与基于Prolog的语言一样，该函数支持多个调用模式。值得注意的是，如果您尝试将其用作生成器，它将输出具有给定顶点数量的所有可能的自互补图（尽管我没有做出任何努力使这种情况可用，并且值得注意的是，它将输出每个每个图形很多次）。

说明

基本上，这只是对问题的描述，而Prolog实现则可以找到解决问题的最佳方法。（但是，我怀疑在这种特殊情况下，它使用的算法是否比蛮力更好，因此它的效率可能很低，并且测试似乎证实了这一点，显示图越大，性能会越差。）

{⟦₁⊇Ċ}ᶠpḍ.(\\ᵐcdl?∨?<2)∧
 ⟦₁                       The range [1, 2, …, ?], where ? is the input
   ⊇                      A subset of that range…
    Ċ                     …which has exactly two elements
{    }ᶠ                   A list of everything that fits the above description
{⟦₁⊇Ċ}ᶠ                   All edges that could exist in a ?-element graph
       p                  Find a permutation of these…
        ḍ                 …so that splitting it into two equal parts…
          (       ∨   )   …either:
               dl?          produces ? distinct elements
           \                after transposing it
            \ᵐ              and transposing its elements
              c             and flattening one level;
                          or:
                   ?<2      ? was less than 2
         .             ∧  Once you've found it, . specifies what to output

顺便说一句，我最终不得不花整个6个字节（程序的¼，是字符(∨?<2)）来处理0和1的特殊情况。令人沮丧，但这就是特殊情况的本质。

该\\ᵐcdl?部分有点难以理解，因此这是一个可行的示例。其目的是检查某物是否为图及其补码，其中图和补码中的对应边在列表中的顺序相同。图形/补码对成为程序的最终输出。这是一个示例案例：

[[[1,2],[1,3],[1,5],[3,5],[4,5]],[[2,5],[2,3],[2,4],[3,4],[1,4]]]

换位后，我们得到了图形和补数之间的一对对应边的列表：

[[[1,2],[2,5]],[[1,3],[2,3]],[[1,5],[2,4]],[[3,5],[3,4]],[[4,5],[1,4]]

接下来，我们在列表元素内转置并展平一个级别。这给了我们图表和补数之间成对的对应元素的列表：

[[1,2],[2,5],[1,2],[3,3],[1,2],[5,4],[3,3],[5,4],[4,1],[5,4]]

显然，我们在这里想要的是从每个元素开始不超过1对（因此证明了图的元素和补码是一对一的对应关系）。我们仅通过声明列表具有完全?不同的元素（即，等于顶点数量的不同元素）就可以验证这一点。在这种情况下，测试成功；不同的元素是：

[[1,2],[2,5],[3,3],[5,4],[4,1]]

但是，这为潜在的问题留有余地。如果顶点在原始图中完全断开，则不会提及其对应关系，从而为与其他某个顶点的重复对应关系留有空间。如果是这样的情况下，补图必须有一个顶点之间的边缘（不失一般性，我们说这是1），和所有其他顶点，因此对应的列表将包含[1,2]，[1,3]，... [1, ?]。当?它很大时，这将导致总的通信量比否则多，因此没有问题。唯一的问题发生在?3或更低的时间，在这种情况下，我们最终只会添加一个额外的对应关系（从中删除一个对应关系）1没有出现在输入中）; 但是，实际上这不是问题，因为3元素图上有3个可能的边，这是一个奇数（同样，2元素图上的1个可能的边也是一个奇数），因此测试将在该\步骤失败（您不能转置参差不齐的列表，即元素长度不同的列表）。

BBC BASIC，161字节

标记化文件大小140字节

在http://www.bbcbasic.co.uk/bbcwin/bbcwin.html下载口译员

I.m:IF2ANDm ORm<4P.0:END
r=400n=-2A.m:t=2*PI/n:F.i=1TOn*n:a=i DIVn:b=i MODn:c=b:IFa+b A.2a*=t:b*=t:L.r+r*SINa,r+r*COSa,r+r*SINb,r+r*COSb:IF 1A.m A.c DRAWr*3,0
N.

非高尔夫代码

  INPUTm                           :REM get input
  IF2ANDm ORm<4PRINT0:END          :REM if m=4x+2 or 4x+3 or less than 4, print 0 and exit
  r=400                            :REM radius of diagram
  n=-2ANDm                         :REM n = m truncated to an even number
  t=2*PI/n                         :REM t = 1/n turns
  FORi=1TOn*n                      :REM for each combination of vertices
    a=i DIVn                       :REM extract a and b
    b=i MODn                       :REM make a copy of c
    c=b                            :REM if a+b MOD 4 = 2 or 3, convert a and b to angles and draw edge.
    IFa+b AND2 a*=t:b*=t:LINEr+r*SINa,r+r*COSa,r+r*SINb,r+r*COSb:IF 1ANDm ANDc DRAWr*3,0
  NEXT                             :REM if m is odd and c is odd, draw a line to the additional vertex for m=4x+1 input.

说明

它使用与Xnor相同的算法，但会生成图表输出。

其中n的形式的4x+2或4x+3不存在溶液作为边缘的数量为奇数。

哪里n是4x形式，我们将所有顶点(a+b) mod 4排列成一个圆形，并画出2或3的那些边（出于打高尔夫球的原因，而不是像Xnor那样为0或1。因此，这是Xnor提供的解决方案的补充。）

为了更直观地理解这一点，我们每隔一个顶点并沿逆时针方向将边线绘制到顶点1和2处。这定义了n平行方向，占总数的一半。然后，我们添加与这些平行的所有其他边缘。

可以通过在每个边缘规格中的a和b上都加1来找到补码，或者通过旋转图表1/n将其象形图所示。

在n形式为4x + 1的位置，我们添加了另一个顶点，该顶点链接到4x图的每个第二顶点。如果将其放置在中心，则将保持图的对称性，但是为了清楚起见，我选择将其放置在点的主圆之外。

输出量

以下是4x + 1的前几种情况。通过删除右下角的顶点及其相关边缘，可以看到4x情况。

JavaScript（ES6），191个字节

f=(n,a=[],v=n*~-n/4)=>v%1?0:eval(n>5?f(n-=4,a)&&'for(i=0;i<n;)a.push([i,n+1],[i++,n+2]);a.push([n,++n],[n,++n],[n,++n])-v':'for(l=x=0;x<n;x++)for(y=x;y<n;y++)l<v&y>>x&1?l=a.push([x,y]):a')||a

该函数返回一个邻接表。它使用两种算法，并通过返回0而不是[]不存在的情况来区分空的互补图和非输出。第一种算法基于使用BIT谓词构造的Rado图，并创建有效的0、1、4、4阶和5阶互补图。我们的数学朋友发现了另一种算法，通过对有效的V顶点互补图应用4路径加法来构造有效的V + 4 顶点互补图。

首先，通过验证输入以确认是否存在有效的互补图（使用n*~-n/4%1），如果失败，则返回0。然后，它检查是否n>5递归，n-4以构造有效的低阶解决方案，然后在递归链备份的方式上将4加法应用于返回的邻接表。最后，如果n>5不为true，则从迭代0到n-1for x和y，并检查as是否(y>>x)&1为true。如果是这样，则将这些节点配对。

这是一种更易读的函数格式，其中三元运算符扩展为if-else语句并eval()内联了s：

// precalculate amount of required vertices in v
f = (n, a = [], v = n*~-n / 4) => {
  // if amount is non-integer
  if (v % 1) {
    // no valid complementary graph
    return 0;
  } else {
    if (n > 5) {
      // generate valid (n-4)-order complementary graph
      f(n -= 4, a);
      // apply 4-path addition
      for (i = 0; i < n;)
        a.push([i, n+1],[i++, n+2]);
      a.push([n, ++n], [n, ++n], [n, ++n]);
    } else {
      // construct Rado graph using BIT predicate
      for(l = x = 0; x < n; x++)
        for(y = x; y < n; y++)
          // if amount of pairs is less than required and xth bit of y is high
          if (l < v && (y>>x & 1))
            // vertices x and y should be paired
            a.push([x,y]);
    }
    return a;
  }
};

演示版

f=(n,a=[],v=n*~-n/4)=>v%1?0:eval(n>5?f(n-=4,a)&&'for(i=0;i<n;)a.push([i,n+1],[i++,n+2]);a.push([n,++n],[n,++n],[n,++n])-v':'for(l=x=0;x<n;x++)for(y=x;y<n;y++)l<v&y>>x&1?l=a.push([x,y]):a')||a

<input type="number" onchange="o.textContent=JSON.stringify(f(this.value))"><pre id="o"></pre>