二叉树
二叉树是具有三种类型的节点的树：
- 没有子节点的终端节点
- 一元节点，每个节点有一个孩子
- 二进制节点，每个都有两个子节点
我们可以用BNF（巴克斯-纳尔形式）中给出的以下语法来表示它们：
<e> ::=
<terminal>
| <unary>
| <binary>
<terminal> ::=
"0"
<unary> ::=
"(1" <e> ")"
<binary> ::=
"(2" <e> " " <e> ")"
在此语法中，节点是按顺序排列的，每个节点都由一个数字表示，该数字表示其拥有的子代数。
莫兹金数
Motzkin数（OEIS）（Wikipedia）有多种解释，但一种解释是，nMotzkin数是具有n节点的不同二叉树的数目。莫兹金数表开始
N Motzkin number M(N)
1 1
2 1
3 2
4 4
5 9
6 21
7 51
8 127
...
例如M(5)9，而9个具有5个节点的二叉树是
1 (1 (1 (1 (1 0))))
2 (1 (1 (2 0 0)))
3 (1 (2 0 (1 0)))
4 (1 (2 (1 0) 0))
5 (2 0 (1 (1 0)))
6 (2 0 (2 0 0))
7 (2 (1 0) (1 0))
8 (2 (1 (1 0)) 0)
9 (2 (2 0 0) 0)
任务
以单个正整数n作为输入，并输出所有带有n节点的不同二叉树。
示例n1到5带有括号，以提高可读性
0
(1 0)
(1 (1 0))
(2 0 0)
(1 (1 (1 0)))
(1 (2 0 0))
(2 0 (1 0))
(2 (1 0) 0)
(1 (1 (1 (1 0))))
(1 (1 (2 0 0)))
(1 (2 0 (1 0)))
(1 (2 (1 0) 0))
(2 0 (1 (1 0)))
(2 0 (2 0 0))
(2 (1 0) (1 0))
(2 (1 (1 0)) 0)
(2 (2 0 0) 0)
输入值
输入将是一个正整数。
输出量
输出应该是具有那么多节点的不同二叉树的可理解表示。使用上面的BNF语法给出的确切字符串不是强制性的：使用的语法给出树的明确表示就足够了。例如，你可以使用[]的替代()，支架额外级别的[[]]代替[]，外括号存在或缺失，额外的逗号或没有逗号，多余的空格，括号或没有括号，等等。
所有这些都是等效的：
(1 (2 (1 0) 0))
[1 [2 [1 0] 0]]
1 2 1 0 0
12100
(1 [2 (1 0) 0])
.:.--
*%*55
(- (+ (- 1) 1))
-+-11
也是@xnor在评论中使用的变体。由于有一种方法可以将其转换为可以理解的格式，因此可以接受。
[[[]][]] is (2 (1 0) 0)
为了使这更容易理解一些转换的[]到()像现在这样
[([])()]
现在，如果您开始
[]
然后插入一个需要两个表达式的二进制文件
[()()] which is 2
然后为第一个（）插入一个需要一个表达式的一元
[([])()] which is 21
但由于有[]或()没有内括号可以表示0，因此不需要更多表达式，您可以将其解释为
2100
请注意，答案应在理论上适用于无限内存，但对于依赖于实现的有限输入，显然会用光内存。
输出变化
BNF xnor Christian Ben
b(t, b(t, t)) [{}{{}{}}] (0(00)) (1, -1, 1, -1)
b(t, u(u(t))) [{}{(())}] (0((0))) (1, -1, 0, 0)
b(u(t), u(t)) [{()}{()}] ((0)(0)) (1, 0, -1, 0)
b(b(t, t), t) [{{}{}}{}] ((00)0) (1, 1, -1, -1)
b(u(u(t)), t) [{(())}{}] (((0))0) (1, 0, 0, -1)
u(b(t, u(t))) [({}{()})] ((0(0))) (0, 1, -1, 0)
u(b(u(t), t)) [({()}{})] (((0)0)) (0, 1, 0, -1)
u(u(b(t, t))) [(({}{}))] (((00))) (0, 0, 1, -1)
u(u(u(u(t)))) [(((())))] ((((0)))) (0, 0, 0, 0)
一个可能检查重复树的地方
一个检查重复项的地方是M（5）。
从M（4）个树中为M（5）生成了这棵树两次
(2 (1 0) (1 0))
首先通过添加一元分支到
(2 (1 0) 0)
其次，通过添加一元分支到
(2 0 (1 0))
了解BNF
BNF由以下简单规则组成：
<symbol> ::= expression
左边是用包围的符号名称<>。
右边是用于构造符号的表达式。一些规则在构造中使用其他规则，例如
<e> ::= <terminal>
e 可以是 terminal
某些规则具有用于构造符号的字符，例如
<terminal> ::= "0"
terminal 只是字符零。
一些规则具有多种构建方式，例如
<e> ::=
<terminal>
| <unary>
| <binary>
一个e可以是一个<terminal>或一个<unary>或一个<binary>。
有些规则是一系列的部分，例如
<unary> ::= "(1" <e> ")"
一个unary是人物(1，然后什么可以构造e之后)。
您总是从起始规则开始，为此<e>。
一些简单的例子：
最简单的序列是just 0。因此，我们从起始规则开始<e>，看看有三个选择：
<terminal>
| <unary>
| <binary>
所以拿第一个<terminal>。现在一个终端别无选择，是0。因此<terminal>，0在<e>规则中替换为，您就完成了。
然后下一个是(1 0)。首先<e>使用<unary>具有
"(1" <e> ")"
现在，这需要一个<e>，所以我们回去<e>，使三者之一的选择，这次选择，<terminal>这给0。更换0进(1 <e> )给(1 0)，这被替换成<unary>这样<e>的(1 0)。