我们希望因式分解半素。这项挑战的目标是找到两个小整数和，用Fermat方法将分解为，从而可以轻松的因数。 $N$ $u$ $v$ $uvN$ $N$

任务

给定一个半素数和一个正整数，我们将和定义为： $N$ $k$ $x$ $y$

x = ⌈ \sqrt{k N} ⌉

$x=\lceil\sqrt{kN}\rceil$

y = x^{2} - k N

$y=x^2-kN$

步骤＃1-查找 $k$

首先，您需要找到的最小可能值，以 $k$ 使 $y$ 为平方数（也称为完美平方）。

这允许通过Fermat分解因子方法的单次迭代分解。更具体地说，这立即导致： $kN$

k N = (x + \sqrt{y}) \times (x - \sqrt{y} ）

$kN=(x+\sqrt{y})\times(x-\sqrt{y})$

（更新：此序列现在发布为A316780）

步骤＃2-分解 $k$

然后，您必须找到两个正整数 $u$ 和 $v$ ，使得：

u v = ķ

$uv=k$

c u = x + \sqrt{y}

$cu=x+\sqrt{y}$

d v = x - \sqrt{y}

$dv=x-\sqrt{y}$

其中 $c$ 和 $d$ 是的素因 $N$ 。

摘要

您的任务是编写一个程序或函数，将作为输入，并以任何顺序和任何合理的格式打印或输出和。 $N$ $u$ $v$

例

让我们考虑 $N = 199163$

步骤1

的最小可能值是，这给： $k$ $40$

X = ⌈ （ \sqrt{40 \times 199163} ） ⌉ = 2823

$x = \lceil(\sqrt{40 \times 199163})\rceil = 2823$

ÿ = 2823^{2} - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^{2}

$y = 2823^2 - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^2$

ķ ñ = （ 2823 + 53 ） \times （ 2823 - 53 ）

$kN = (2823 + 53) \times (2823 - 53)$

ķ ñ = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

第2步

的正确因式分解为，因为： $k$ $k = 4 \times 10$

ķ ñ = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

ķ ñ = （ 719 \times 4 ） \times （ 277 \times 10 ）

$kN = (719 \times 4) \times (277 \times 10)$

N = 719 \times 277

$N = 719 \times 277$

因此，正确答案应该是或。 $[ 4, 10 ]$ $[ 10, 4 ]$

规则

不需要严格执行上述两个步骤。您可以自由使用任何其他方法，只要它找到和的正确值即可。 $u$ $v$
$uvN$
输入保证为半素数。
这是代码高尔夫球，因此最短的答案以字节为单位。
禁止出现标准漏洞。

测试用例

N          | k    | Output
-----------+------+------------
143        | 1    | [   1,  1 ]
2519       | 19   | [   1, 19 ]
199163     | 40   | [   4, 10 ]
660713     | 1    | [   1,  1 ]
4690243    | 45   | [   9,  5 ]
11755703   | 80   | [  40,  2 ]
35021027   | 287  | [   7, 41 ]
75450611   | 429  | [ 143,  3 ]
806373439  | 176  | [   8, 22 ]
1355814601 | 561  | [  17, 33 ]
3626291857 | 77   | [   7, 11 ]
6149223463 | 255  | [  17, 15 ]
6330897721 | 3256 | [  74, 44 ]

示例实施

$f$ $N$ $u$ $v$

$g$ $N$ $u$ $v$ $N$ $O(1)$

显示代码段

f = N => {
  for(k = 1;; k++) {
    x = Math.ceil(Math.sqrt(k * N));
    y = x * x - k * N;
    ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
    
    if(ySqrt * ySqrt == y) {
      p = x + ySqrt;

      for(u = 1;; u++) {
        if(!(p % u) && !(N % (p / u))) {
          v = k / u;
          return [ u, v ];
        }
      }
    }
  }
}

g = (N, u, v) => {
  x = Math.ceil(Math.sqrt(u * v * N));
  y = x * x - u * v * N;
  ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
  p = x + ySqrt;
  q = x - ySqrt;
  return [ p / u, q / v ];
}

[
  143, 2519, 199163, 660713, 4690243, 11755703,
  35021027, 75450611, 806373439, 1355814601,
  3626291857, 6149223463, 6330897721
]
.map(N => {
  [u, v] = f(N);
  [c, d] = g(N, u, v);
  console.log(
    'N = ' + N + ', ' +
    'u = ' + u + ', ' +
    'v = ' + v + ', ' +
    'N = ' + c + ' * ' + d
  );
});

展开摘要

code-golf number-theory primes

— Arnauld
source

我们是否保证输入N实际上是半素数？

— 格雷格·马丁

@GregMartin是的。

— Arnauld

8

Mathematica，81 79字节

感谢Martin Ender节省了2个字节！

(c=Ceiling;For[j=0;z=E,c@z>z,p=(x=c@Sqrt[j+=#])+{z=Sqrt[x^2-j],-z}];p/#~GCD~p)&

将半素数作为输入并返回有序对正整数的纯函数。的For确切过程中的问题描述（使用循环工具#用于代替的输入n），以x所定义的有，虽然我们存储j = k*n，而不是k本身和z=Sqrt[y]代替y本身。我们还在循环p={x+z,x-z}内进行计算For，最终节省了一个字节（类似于第七次尝试）。然后，两个期望因子为(x+z)/GCD[#,x+z]和(x-z)/GCD[#,x-z]，简洁表达式p/#~GCD~p直接将其作为有序对进行计算。

好奇心：我们想循环直到z为整数；但是由于我们Ceiling已经在代码中使用了它，所以它节省了两个字节!IntegerQ@z来定义c=Ceiling（这花费了四个字节，如Mathematica高尔夫球手所知道的），然后测试是否c@z>z。我们必须初始化z为某种东西，并且某种东西最好不要是整数，这样循环才能开始。幸运的E是一个简洁的选择。

— 格雷格·马丁
source

4

JavaScript（ES7），86 81字节

n=>(g=k=>(y=(n*k)**.5+1|0,y+=(y*y-n*k)**.5)%1?g(k+1):n*u++%y?g(k):[--u,k/u])(u=1)

编辑：由于@Arnauld，节省了4个字节。

— 尼尔
source

4

Python 2中，127 121 117 111 107 104个 101 99个字节

-1个字节归功于Neil，-3个字节归功于ovs

N=input()
k=u=1;p=m=.5
while p%1:p=1+(k*N)**m//1;p+=(p*p-k*N)**m;k+=1
while N*u%p:u+=1
print~-k/u,u

在线尝试！

好奇心：

p初始化为，.5以便循环条件在第一次迭代时为true。请注意，存储p（as x+ sqrt(y)）比分别存储x和短y。

— 数学迷
source

x*x代替x**2？

— 尼尔，

@Neil是的，当然。谢谢

— 数学迷

1

公理，131115字节

v(x)==floor(x^.5)::INT;r(n)==(k:=0;repeat(k:=k+1;x:=1+v(k*n);y:=v(x*x-k*n);x^2-y^2=k*n=>break);[w:=gcd(k,x+y),k/w])

解决问题的函数是上面的r（n）。高尔夫和测试

vv(x)==floor(x^.5)::INT    

--(x-y)*(x+y)=k*n
rr(n)==
  k:=0
  repeat
     k:=k+1
     x:=1+vv(k*n)
     y:=vv(x*x-k*n)
     x^2-y^2=k*n=>break
  [w:=gcd(k,x+y),k/w]


(4) -> [[i,r(i)] for i in [143,2519,199163,660713,4690243,11755703]]
   (4)
   [[143,[1,1]], [2519,[1,19]], [199163,[4,10]], [660713,[1,1]],
    [4690243,[9,5]], [11755703,[40,2]]]
                                                      Type: List List Any

— 罗斯鲁普
source

费马的分解助手

任务

例

规则