给定两个数字n和m，请评估无限大功率塔：

n ^（n + 1）^（n + 2）^（n + 3）^（n + 4）^ ... mod m

请记住，^是右关联的。因此2 ^ 3 ^ 4 = 2 ^（3 ^ 4）。现在，您如何可能将一个值分配给无数个右联想运算符？

将f（n，m，i）定义为包含无限功率塔的前i个项的功率塔。然后有一个常数C，使得对于每个i> C，f（n，m，i）= f（n，m，C）。因此，您可以说无限大功率塔收敛于某个值。我们对此价值感兴趣。

您的程序必须能够在合理的现代PC上在不到10秒的时间内计算出n = 2017，m = 10 ^ 10。也就是说，您应该实现一个实际的算法，不要强行使用。

您可以假设您的编程语言中的数值限制为n <2 ³⁰和m <2 ⁵⁰，但是理论上您的算法必须适用于任何大小n，m。但是，对于这些大小限制内的输入，您的程序必须正确，如果输入在这些限制内，则不会原谅中间值溢出。

例子：

2, 10^15
566088170340352

4, 3^20
4

32, 524287
16

Pyth，23个字节

M&tG.^HsgBu-G/GH{PGGhHG

定义一个函数g，按m和n的顺序排列。

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怎么运行的

M&tG.^HsgBu-G/GH{PGGhHG
M                         def g(G, H):
 &tG                        0 if G == 1, else …
                 PG         prime factors of G
                {           deduplicate that
          u-G/GH   G        reduce that on lambda G,H:G-G/H, starting at G
                              (this gives the Euler totient φ(G))
        gB          hH      bifurcate: two-element list [that, g(that, H + 1)]
       s                    sum
    .^H               G     H^that mod G

Python 2，109 76字节

import sympy
def g(n,m):j=sympy.totient(m);return m-1and pow(n,j+g(n+1,j),m)

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为什么有效

我们使用以下欧拉定理的推广。

引理。 Ñ ^2φ（米） ≡ Ñ ^φ（米）（MOD 米）的所有Ñ（无论是否Ñ是互质米）。

证明：对于所有素数p ^k除以m，

• 如果p划分Ñ，然后因为φ（米）≥ φ（p ^ķ）= p ^{ķ - 1}（p - 1）≥2 ^{ķ - 1} ≥ ķ，我们有Ñ ^2φ（米） ≡0≡ Ñ ^φ（米）（mod p ^k）。
• 否则，因为φ（p ^ķ）划分φ（米），欧拉定理给出Ñ ^2φ（米） ≡1≡ Ñ ^φ（米）（MOD p ^ķ）。

因此，Ñ ^2φ（米） ≡ Ñ ^φ（米）（MOD 米）。

结果。如果ķ ≥φ（米），则Ñ ^ķ ≡ Ñ ^{φ（米）+（ķ模φ（米））}（MOD 米）。

证明：如果ķ ≥2φ（米），外稃给出Ñ ^ķ = Ñ ^2φ（米）ñ ^{ķ - 2φ（米）} ≡ Ñ ^φ（米）ñ ^{ķ - 2φ（米）} = Ñ ^{ķ - φ（米）}（ mod m），然后重复直到指数小于2φ（m）。

Haskell，156个字节

(?)取两个Integers并返回一个Integer，用作as (10^10)?2017（与OP相反的顺序）。

1?n=0
m?n=n&m$m#2+m#2?(n+1)
1#_=1
n#p|m<-until((<2).gcd p)(`div`p)n=m#(p+1)*1`max`div(n*p-n)(p*m)
(_&_)0=1
(x&m)y|(a,b)<-divMod y 2=mod(x^b*(mod(x*x)m&m)a)m

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奇怪的是，最慢的测试用例不是有速度限制的（几乎是即时的），而是524287 ? 32一个，因为524287它的质数比其他测试用例中的因素大得多。

怎么运行的

• (x&m)y是x^y `mod` m，或幂模，通过平方求幂。
• n#p是的Euler上位性函数n，假定n其主因子不小于p。
  • m将n所有p因素都分开。
  • 如果存在k这样的因素，则待办事项本身应该获得一个对应的因数(p-1)*p^(k-1)，其计算公式为div(n*p-n)(p*m)。
  • 1`max`...处理n未被实际整除的情况p，使得另一个参数max等于0。
• 主要功能m?n用途，当y足够大，n^y `mod` m是一样的n^(t+(y`mod`t)) `mod` m，如果t是的欧拉m。（t+对于那些主要因素而言n，这是必需的，它们m具有共同点，所有因素都得到了最大化。）
• 该算法停止，因为迭代的目标函数最终达到1。

Mathematica，55个字节

n_~f~1=0;n_~f~m_:=PowerMod[n,(t=EulerPhi@m)+f[n+1,t],m]

例子：

In[1]:= n_~f~1=0;n_~f~m_:=PowerMod[n,(t=EulerPhi@m)+f[n+1,t],m]

In[2]:= f[2, 10^15]

Out[2]= 566088170340352

In[3]:= f[4, 3^20]

Out[3]= 4

In[4]:= f[32, 524287]

Out[4]= 16

In[5]:= f[2017, 10^10]

Out[5]= 7395978241

Pari / GP，59字节

f(n,m)=if(m==1,0,lift(Mod(n,m)^((t=eulerphi(m))+f(n+1,t))))

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