等于和的产品，反之亦然

22

一个有趣的等价对是1 + 5 = 2·3和1·5 = 2 + 3。像这样的有很多，另外一个是1 +1 + 8 = 1·2·5和1·1·8 = 1 + 2 + 5。通常，n个正整数的乘积等于n个正整数的和，反之亦然。

在此挑战中，必须为输入n> 1生成所有这样的正整数组合（不包括置换）。您可以以任何合理的格式输出它们。例如，n = 3的所有可能解为：

(2, 2, 2) (1, 1, 6)
(1, 2, 3) (1, 2, 3)
(1, 3, 3) (1, 1, 7)
(1, 2, 5) (1, 1, 8)

该程序可以在我的2GB RAM上在一分钟内生成最高n的最大组合，因此胜出的是64位Intel Ubuntu笔记本电脑。如果您的答案使用了超过2GB的RAM或使用无法使用免费软件测试的语言编写的内容，则我不会给您的答案打分。我将在两周后测试答案，然后选择获胜者。当然，以后仍然可以发布非竞争性答案。

由于尚不知道所有n的全套解决方案是什么，因此您可以发布能生成不完整解决方案的答案。但是，如果另一个答案生成了（更多）完整的解决方案，即使它们的最大值n较小，该答案也会获胜。

需要说明的是，以下是决定获胜者的评分过程：

  1. 我将使用n = 2，n = 3等测试您的程序。我存储您的所有输出，并在您的程序花费一分钟以上或超过2GB RAM时停止。每次为给定输入n运行程序时，如果花费超过1分钟，它将终止。

  2. 我查看n = 2时所有程序的所有结果。如果一个程序产生的有效解比另一个程序少，则该程序将被淘汰。

  3. 对n = 3，n = 4等重复执行第2步。最后一个程序获胜。

integer  fastest-code 
— 奥尔普
source
1
那么，Windows专有语言没有答案吗？
— Conor O'Brien
3
我个人不喜欢评分标准。在我们从您的计算机上获得测试结果之前，不可能知道我们的解决方案是否会起作用以及在何处设置阈值。我认为一个简单的代码高尔夫球会提出一个更好的问题。
— musicman523
2
我假设不允许进行硬编码。但是，这种限制几乎是不可观察的
— Luis Mendo
1
@ user202729我没有，我必须为每个n尝试每个程序，以查看哪个程序生成更多解决方案。
— Orlp
2
“从现在起两周后的时间”是3天前。
— GB

Answers:

4

C（gcc），n = 50000000，6499结果在59 s

为避免产生几乎完全由1组成的TB级输出，（例如）49999995 1s的序列缩写为1x49999995。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

static int n, *a1, k1 = 0, *a2, k2 = 0, s1, p1, *factor;

static void out() {
  if (s1 == p1) {
    for (int i = 0; i < k1 && i < k2; i++) {
      if (a1[i] < a2[i])
        return;
      else if (a1[i] > a2[i])
        break;
    }
  }

  for (int i = 0; i < k1; i++)
    printf("%d ", a1[i]);
  printf("1x%d | ", n - k1);
  for (int i = 0; i < k2; i++)
    printf("%d ", a2[i]);
  printf("1x%d\n", n - k2);
}

static void gen2(int p, int s, int m);

static void gen3(int p, int s, int m, int x, int q) {
  int r = s - n + k2 + 2;
  int d = factor[q];
  do {
    if (x * d <= m)
      x *= d;
    q /= d;
  } while (q % d == 0);
  do {
    if (q == 1) {
      a2[k2++] = x;
      gen2(p / x, s - x, x);
      k2--;
    } else {
      gen3(p, s, m, x, q);
    }
    if (x % d != 0)
      break;
    x /= d;
  } while (p / (x * q) >= r - x * q);
}

static void gen2(int p, int s, int m) {
  int n2 = n - k2;
  if (p == 1) {
    if (s == n2)
      out();
  } else if (n2 >= 1 && m > 1) {
    int r = s - n2 + 1;
    if (r < 2 || p < r)
      return;
    if (m > r)
      m = r;
    if (factor[p] <= m)
      gen3(p, s, m, 1, p);
  }
}

static void gen1(int p, int s, int m) {
  int n1 = n - k1;
  p1 = p;
  s1 = s + n1;
  gen2(s1, p1, s + n1 + 1 - n);
  if (n1 != 0) {
    int *p1 = &a1[k1++];
    for (int x = 2; x <= m && p * x <= s + x + n1 - 1; x++) {
      *p1 = x;
      gen1(p * x, s + x, x);
    }
    k1--;
  }
}

int main(int argc, char **argv) {
  if (argc < 2)
    return 1;
  n = atoi(argv[1]);
  if (n < 2)
    return 1;
  a1 = malloc(n * sizeof(int));
  a2 = malloc(n * sizeof(int));
  factor = calloc(4 * n - 1, sizeof(int));
  for (int p = 2; p < 4 * n - 1; p++)
    if (factor[p] == 0) {
      factor[p] = p;
      for (int i = p; i <= (4 * n - 2) / p; i++)
        factor[p * i] = p;
    } else if (factor[p] < factor[p / factor[p]]) {
      factor[p] = factor[p / factor[p]];
    }
  gen1(1, 0, 3 * n - 1);
  return 0;
}

在线尝试！

— 安德斯·卡塞格（Anders Kaseorg）
source
3

Mathematica，n = 293，含12个解

OP改变了挑战并要求输入
这是将任何n用作输入的新代码
对于n = 293，您可以获得12个解决方案

If[#<5,Union[Sort/@Select[Tuples[{1,2,3,4,5,6,7,8,9},{#}],Tr@#==Times@@#&]],For[a=1,a<3,a++,For[b=a,b<3,b++,For[c=b,c<5,c++,For[d=c,d<10,d++,For[e=d,e<300,e++,If[Tr[s=Join[Table[1,#-5],{a,b,c,d,e}]]==Times@@s,Print[s]]]]]]]]&


输入

[n]

您可以在Wolfram Sandbox（这是一个在线免费软件）上测试此算法，
只需跟随链接，粘贴代码（ctrl + v），在代码末尾粘贴输入内容，然后按shift + enter即可运行。
您将在几秒钟内获得我所有的解决方案

这里也是在线尝试！在C ++（gcc）中
（非常感谢@ThePirateBay支持和将我的代码翻译成免费语言）

该程序仅生成{a，b，c} {a，b，c}形式的解，
这意味着a + b + c = a * b * c

计算需要1秒

十二个解决方案是：

{1,1 ...，1,1,1,2,293} {1,1 ...，1,1,1,2,293}
{1,1 ...，1,1,1,3,147} {1 ，1 ...，1,1,1,3,147}
{1,1 ...，1,1,1,5,74} {1,1 ...，1,1,1,5,74}
{1,1 ...，1,1,2,2,98} {1,1 ...，1,1,2,2,98}
{1,1 ...，1,1,2， 3,59} {1,1 ...，1,1,2,3,59}
{1,1 ...，1,1,2,5,33} {1,1 ...，1， 1,2,5,33}
{1,1 ...，1,1,2,7,23} {1,1 ...，1,1,2,7,23}
{1,1 .. 。，1,1,2,8,20} {1,1 ...，1,1,2,8,20} {1,1 ...，1,1,3,3,37,37
} {1 ，1 ...，
1,1,3,3,37} {1,1 ...，1,1,3,4,27} {1,1 ...，1,1,3,4， 27}
{1,1 ...，1,1,3,7,15} {1,1 ...，1,1,3,7,15}
{1,1 ...，1,2， 2,6,13} {1,1 ...，1,2,2,6,13}

— J42161217
source
1
“如果您的答案是用无法使用免费软件测试的语言编写的，则不会为您的答案打分。”
— Leaky Nun
4
@GB“您被允许发布产生不完整解决方案的答案”
— user202729
1
我的程序“在一分钟内生成最多n的最大组合”。它没有经过硬编码。它在一分钟内找到了前12个“最简单”的解决方案
— J42161217
1
可以更清楚地知道n应该是输入。我现在澄清了。您的程序似乎没有输入n。
— orlp
2
@orlp固定！我的程序将任何n作为输入。对于n = 293，您可以获得12个解。如果一切正常，请取消投票！
— J42161217
2

Python 2，n = 175，59s中的28个结果

使用减少因子2使其变慢一些，但从n = 83开始获得更多解

一次运行，我在TIO上得到n高达92的结果。

def submats(n, r):
    if n == r:
        return [[]]
    elif r > 6:
        base = 1
    else:
        base = 2
    mx = max(base, int(n*2**(1-r)))

    mats = []
    subs = submats(n, r+1)
    for m in subs:
        if m:
            mn = m[-1]
        else:
            mn = 1
        for i in range(mn, mx + 1):
            if i * mn < 3*n:
                mats += [m + [i]]
    return mats

def mats(n):
    subs = []
    for sub in submats(n, 0):
        sum = 0
        prod = 1
        for m in sub:
            sum += m
            prod *= m
        if prod > n and prod < n*3:
            subs += [[sub, sum, prod]]
    return subs

def sols(n):
    mat = mats(n)
    sol = [
        [[1]*(n-1)+[3*n-1],[1]*(n-2)+[2,2*n-1]],
    ]
    if n > 2:
        sol += [[[1]*(n-1)+[2*n+1],[1]*(n-2)+[3,n]]]
    for first in mat:
        for second in mat:
            if first[2] == second[1] and first[1] == second[2] and [second[0], first[0]] not in sol:
                sol += [[first[0], second[0]]];
    return sol

在线尝试！

— 国标
source
1
“保留5个元素[1..2]并限制3n ...”我很高兴您喜欢我的算法；-)
— J42161217 '17
我已经在Ruby版本中做了类似的事情，现在我正试图消除该限制。
— GB
对于给定的n，您的算法中硬编码了多少个解？
— J42161217 '17
并不是真正的硬编码：可以使用快捷方式生成2个标准解决方案（n = 2除外，它们是相同的组合），并且通过跳过它们，我可以将范围限制为2n而不是3n。如果这被认为是硬编码的，我将对其进行更改。
— GB
1
对于61，我的结果将是28，而我记得它是27 ...可能是我犯了一些错误
— RosLuP
1

Ruby，n = 12获得6个解决方案

至少在TIO上，通常结果为1到11 

->n{
  arr=[*1..n*3].product(*(0..n-2).map{|x|
    [*1..[n/3**x,2].max]|[1]
  }).select{|a|
    a.count(1) >= n-4
  }.map(&:sort).uniq
  arr.product(arr).map(&:sort).uniq.select{|r|
    r[0].reduce(&:+) == r[1].reduce(&:*) &&
    r[0].reduce(&:*) == r[1].reduce(&:+)
  }
}

在线尝试！

一分钟内在笔记本电脑上以n = 13获得10个结果。

— 国标
source
1

Mathematica，n = 19，有11个解

根据OP的新标准，这是我的新答案 

(SOL = {};
For[a = 1, a < 3, a++, 
For[b = a, b < 3, b++, 
For[c = b, c < 5, c++, 
 For[d = c, d < 6, d++, 
  For[e = d, e < 3#, e++, 
   For[k = 1, k < 3, k++, 
    For[l = k, l < 3, l++, 
     For[m = l, m < 5, m++, 
      For[n = m, n < 6, n++, For[o = n, o < 3#, o++,
        s = Join[Table[1, # - 5], {a, b, c, d, e}];
        t = Join[Table[1, # - 5], {k, l, m, n, o}];            
        If[Tr[s[[-# ;;]]] == Times @@ t[[-# ;;]] && 
          Tr[t[[-# ;;]]] == Times @@ s[[-# ;;]], 
         AppendTo[SOL,{s[[-#;;]],t[[-#;;]]}]]]]]]]]]]]];
Union[SortBy[#,Last]&/@SOL])&

如果最后输入[n]，程序将显示解决方案

这是我的结果（在旧的64位2.4GHz笔记本电脑上）

n->解决方案
2-> 2
3-> 4
4-> 3
5-> 5
6-> 4
7-> 6
8-> 5
9-> 7
10-> 7
11-> 8
12-> 6（in 17秒）
13-> 10（20秒内）
14-> 7（25秒内）
15-> 7（29秒内）
16-> 9（34秒内）
17-> 10（39秒内）
18- > 9（在45秒内）
19-> 11（在51秒内）
20-> 7（在58秒内）

— J42161217
source
1

Haskell，许多快速解决方案

import System.Environment

pr n v = prh n v v

prh 1 v l = [ [v] | v<=l ]
prh n 1 _ = [ take n $ repeat 1 ]
prh _ _ 1 = []
prh n v l = [ d:r | d <-[2..l], v `mod` d == 0, r <- prh (n-1) (v`div`d) d ]

wo n v = [ (c,k) | c <- pr n v, let s = sum c, s>=v,
                   k <- pr n s, sum k == v, s>v || c>=k ]

f n = concatMap (wo n) [n+1..3*n]

main = do [ inp ] <- getArgs
          let results = zip [1..] $ f (read inp)
          mapM_ (\(n,s) -> putStrLn $ (show n) ++ ": " ++ (show s)) results

f 计算解决方案， main函数添加了从命令行获取输入以及进行一些格式化和计数的功能。

— 克里斯蒂安·西弗斯
source
像这样编译：ghc -O3 -o prodsum prodsum.hs并使用命令行参数运行：./prodsum 6
— Christian Sievers
0

哈斯克尔，n = 10有2个解


import           Data.List

removeDups = foldl' (\seen x -> if x `elem` seen then seen else x : seen) []
removeDups' = foldl' (\seen x -> if x `elem` seen then seen else x : seen) []

f n= removeDups $ map sort filterSums
  where maxNumber = 4
        func x y = if (((fst x) == (fst.snd$y)) && ((fst y) == (fst.snd$x)))
                     then [(snd.snd$x),(snd.snd$y)]
                     else [[],[]]
        pOf = removeDups' $ (map sort (mapM (const [1..maxNumber]) [1..n]))
        sumOf = map (\x->((sum x),((product x), x))) pOf
        filterSums = filter (\x-> not$(x == [[],[]])) (funcsumOfsumOf)

这表现像废话，但我至少已经解决了，所以我现在实际上正在解决挑战！

在线尝试！

— 枫木轴
source
对于n = 2，您得到[“ [3,3] [2,3]”，“ [2,2] [2,2]”，“ [1,3] [2,2]”，“ [1， 2] [1,3]“，” [1,1] [1,2]“]
— J42161217 '17
所有的解决方案似乎是错的实际
— GB
@Jenny_mathy怎么了？3 + 3是6，2 * 3是6。我误解了这个问题。
— maple_shaft
您缺少“反之亦然”
— J42161217 '17
我的@Jenny_mathy Dumb错误！我已修复它，现在应该可以工作。
— maple_shaft
0

公理，这里59秒内n = 83

-- copy the below text in the file name "thisfile.input" 
-- and give something as the command below in the Axiom window:
-- )read C:\Users\thisuser\thisdirectory\thisfile

)cl all
)time on

-- controlla che l'array a e' formato da elementi  a.i<=a.(i+1)
tv(a:List PI):Boolean==(for i in 1..#a-1 repeat if a.i> a.(i+1) then return false;true)

-- funzione incremento: incrementa a, con #a=n=b/3,sotto la regola di "reduce(+,a)+#a-1>=reduce(*,a)"
-- e che n<reduce(*,a)<3*n ed reduce(+,a)<3*n 
inc3(a:List PI):INT==
   i:=1; n:=#a; b:=3*n
   repeat
      if i>n  then return 0
      x:=reduce(*,a)
      if x>=b then a.i:=1
      else
          y:=reduce(+,a)
          if y>b then a.i=1
          else if y+n-1>=x then
                      x:=x quo a.i
                      a.i:=a.i+1
                      x:=x*a.i
                      if tv(a) then break
                      else a.i:=1
          else a.i:=1
      i:=i+1
   if x<=n then return inc3(a) -- x<=n non va
   x

-- ritorna una lista di liste di 4 divisori di n
-- tali che il loro prodotto e' n
g4(n:PI):List List PI==
  a:=divisors(n)
  r:List List PI:=[]
  for i in 1..#a repeat
     for j in i..#a repeat
        x:=a.i*a.j
        if x*a.j>n then break
        for k in j..#a repeat
            y:=x*a.k
            if y*a.k>n then break
            for h in k..#a repeat
                z:=y*a.h
                if z=n  then r:=cons([a.h,a.k,a.j,a.i],r)
                if z>=n then break 
  r

-- ritorna una lista di liste di 3 divisori di n
-- tali che il loro prodotto e' n
g(n:PI):List List PI==
  a:=divisors(n)
  r:List List PI:=[]
  for i in 1..#a repeat
     for j in i..#a repeat
        x:=a.i*a.j
        if x*a.j>n then break
        for k in j..#a repeat
            y:=x*a.k
            if y=n  then r:=cons([a.k,a.j,a.i],r)
            if y>=n then break
  r

-- cerca che [a,b] nn si trovi gia' in r
searchr(r:List List List PI,a:List PI,b:List PI):Boolean==
  aa:=sort(a); bb:=sort(b)
  for i in 1..#r repeat
      x:=sort(r.i.1);y:=sort(r.i.2)
      if x=aa and y=bb then return false
      if x=bb and y=aa then return false
  true

-- input n:PI
-- ritorna r, tale che se [a,b] in r
-- allora #a=#b=n
--        ed reduce(+,a)=reduce(*,b) ed reduce(+,b)=reduce(*,a)
f(n:PI):List List List PI==
  n>100000 or n<=1 =>[]
  a:List PI:=[]; b:List PI:=[]; r:List List List PI:=[]
  for i in 1..n repeat(a:=cons(1,a);b:=cons(1,b))
  if n~=72 and n<86 then  m:=min(3,n)
  else                    m:=min(4,n) 
  q:=reduce(*,a) 
  repeat
    w:=reduce(+,a)
    if n~=72 and n<86 then x:= g(w)
    else                   x:=g4(w)
    if q=w then r:=cons([copy a, copy a],r)
    for i in 1..#x repeat
           for j in 1..m repeat
                  b.j:=(x.i).j
           -- per costruzione abbiamo che reduce(+,a)= prodotto dei b.i=reduce(*,b)
           -- manca solo di controllare che reduce(+,b)=reduce(*,a)=q
           if reduce(+,b)=q and searchr(r,a,b) then r:=cons([copy a, copy b],r)
    q:=inc3(a)
    if q=0 then break
  r

结果：

 for i in 2..83 repeat output [i, # f(i)]
   [2,2][3,4][4,3][5,5][6,4][7,6][8,5][9,7][10,7][11,8][12,6][13,10][14,7][15,7]
   [16,10][17,10][18,9][19,12][20,7][21,13][22,9][23,14][24,7][25,13][26,11]
   [27,10][28,11][29,15][30,9][31,16][32,11][33,17][34,9][35,9][36,13][37,19]
   [38,11][39,14][40,12][41,17][42,11][43,20][44,12][45,16][46,14][47,14][48,13]
   [49,16][50,14][51,17][52,11][53,20][54,15][55,17]
   [56,14][57,20][58,17][59,16][60,15][61,28][62,15][63,16][64,17][65,18]
   [66,14][67,23][68,20][69,19][70,13][71,18][72,15][73,30][74,15][75,17][76,18]
   [77,25][78,16][79,27][80,9][81,23][82,17][83,26]


 f 3
    [[[1,2,5],[8,1,1]],[[1,3,3],[7,1,1]],[[1,2,3],[1,2,3]],[[2,2,2],[6,1,1]]]
                                     Type: List List List PositiveInteger
                                   Time: 0.07 (IN) + 0.05 (OT) = 0.12 sec

在Axiom中运行文本的方法是，将所有文本复制到文件中，并使用以下名称保存文件：Name.input，在Axiom窗口中使用“）read absolutepath / Name”。
结果：（＃f（i）查找数组f（i）的长度，即解数）

— 罗斯鲁普
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