介绍

0和1之间的每个有理数都可以表示为最终的周期性位序列。例如，11/40的二进制表示为

0.010 0011 0011 0011 ...

0011无限期重复的部分。以下是找到此表示形式的一种方法。从r = 11/40开始，然后重复将其加倍并取小数部分，当它超过1时进行记录。当r的值重复时，您就知道已经进入循环。

1. r = 11/40
2. 2*r = 11/20 < 1   ->  next bit is 0, r = 11/20
3. 2*r = 11/10 >= 1  ->  next bit is 1, r = 2*r - 1 = 1/10
4. 2*r = 1/5 < 1     ->  next bit is 0, r = 1/5
5. 2*r = 2/5 < 1     ->  next bit is 0, r = 2/5
6. 2*r = 4/5 < 1     ->  next bit is 0, r = 4/5
7. 2*r = 8/5 >= 1    ->  next bit is 1, r = 2*r - 1 = 3/5
8. 2*r = 6/5 >= 1    ->  next bit is 1, r = 2*r - 1 = 1/5, same as in 4.
   The loop 5. -> 6. -> 7. -> 8. now repeats.

要从二进制字符串返回到11/40，可以使用以下公式

(int(prefix) + int(suffix)/(2^len(suffix) - 1)) / 2^len(prefix)

where prefix是初始部分010，suffix是重复部分0011，int并将二进制字符串转换为整数。

给定两个这样的表示，我们可以对它们执行按位XOR操作。结果序列也将是周期性的，因此它表示一个有理数。

对于某些有理数，有两种二进制表示形式。

1/4 = 0.010000000...
    = 0.001111111...

它们之间的选择会影响按位异或的结果。在这些情况下，我们使用前一个表示形式，该表示形式具有无限多个0。

任务

您的输入是半开区间[0,1）中的两个有理数。您的输出应为应用于输入的按位XOR运算的结果，以有理数表示。请注意，即使两个输入都不是，输出也可以为1。

输入和输出的确切格式是灵活的，但每个有理数应该由两个整数分子和分母（具有0和1之外，其可以被表示为被表示0和1如果需要的话）。您可以假设输入用最低术语表示。输出必须用最低的术语表示。内置有理数类型是可以接受的格式，只要它满足这些限制。您可以忽略语言所强加的整数的任何界限，但理论上，算法应适用于所有有理数。

最低字节数获胜。适用标准代码高尔夫球规则。

例

考虑输入11/40和3/7。我们将它们的表示形式一个接一个地写，用管道将重复的部分定界|。然后，我们提取相等长度的重复部分，并对它们和它们之前的部分进行按位XOR。

11/40 = 0. 0 1 0|0 0 1 1|0 0 1 1|0 0 1 1|0 0 1 1|0 0 1 1|0 0 1 1|0 0 1 ...
3/7   = 0.|0 1 1|0 1 1|0 1 1|0 1 1|0 1 1|0 1 1|0 1 1|0 1 1|0 1 1|0 1 1|...
     -> 0. 0 0 1|0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0|0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0|0 1 0 ...

所得的有理数为89/520。

测试用例

0 0 -> 0
1/2 1/2 -> 0
1/2 1/4 -> 3/4
1/3 2/3 -> 1
1/2 3/4 -> 1/4
5/8 1/3 -> 23/24
1/3 1/5 -> 2/5
15/16 3/19 -> 257/304
15/16 257/304 -> 3/19
3/7 11/40 -> 89/520
5/32 17/24 -> 59/96
16/29 16/39 -> 621001733121535520/696556744961512799

Python 3中，193个 164字节

def x(a,b,z=0):
 l=[]
 while(a,b)not in l:l+=[(a,b)];z=2*z|(a<.5)^(b<.5);a=a*2%1;b=b*2%1
 p=l.index((a,b));P=len(l)-p
 return((z>>P)+z%2**P*a**0/~-2**(P or 1))/2**p

将输入作为Python 3的fractions.Fraction类型，并输出它。

有趣的事实（您可以使用生成函数轻松显示这一点），如果更改(a<.5)^(b<.5)为((a>=.5)and(b>=.5))上述内容，则会得到两个有理数之间的二进制与。叫这个nd(a, b)。那我们有a + b - 2*nd(a, b) = x(a, b)！

JavaScript，141个字节

(p,q,r,s)=>(h=(v,u)=>v%u?h(u,v%u):[a/u,b/u])(b=(g=x=>x%q||x%s?g((x|x/2)+x%2):x)(1),a=(o=b/(b-(b&~-b)),x=p*b/q,y=r*b/s,(x%o^y%o)+(x/o^y/o)*o))

不能用于最后一个测试用例（整数溢出）。输入4个数字p/q xor r/s，输出包含两个数字的数组。对于测试用例0, 0，应输入0, 1, 0, 1。

怎么样：

（此处描述的所有数字均为二进制形式。）

1. 找出最小数b，其中b = 10 ^ p - 10 ^ q (p, q are integers, p > q); and b = 0 (mod q); and b = 0 (mod s)，
2. 让x = p * b / q，y = r * b / q; 转换p / q，r / s要x / b和y / b;
3. 让o = 10 ^ (p - q) - 1; 裂x，y向[x % o, x / o]，[y % o, y / o]; 每个部分得到xor [x % o xor y % o, x / o xor y / o]并加入到(x % o xor y % o) + (x / o xor y / o) * o; 捐赠为a;
4. 如果为a = 0，则答案为0（或0 / 1）；否则让u = gcd(a, b); 答案是(a/u)和(b/u)。

f=

(p,q,r,s)=>(h=(v,u)=>u%v?h(u%v,v):[a/v,b/v])(b=(g=x=>x%q||x%s?g((x|x/2)+x%2):x)(1),a=(o=b/(b-(b&~-b)),x=p*b/q,y=r*b/s,(x%o^y%o)+(x/o^y/o)*o))

<div oninput="[v5.value,v6.value]=['?','?'];[v5.value,v6.value]=f(+v1.value,+v2.value,+v3.value,+v4.value)">
<input id=v1 />/<input id=v2 /> xor <input id=v3 />/<input id=v4 /> = <output id=v5></output> / <output id=v6></output>
<style>input{width:40px}</style>
</div>