甲二分图是其顶点可分为两个不相交的集合，使得没有边缘在同一组连接两个顶点的曲线图。当且仅当图是2色时，图才是二部图。

挑战

给定一个无向简单图的邻接矩阵，您的任务是确定它是否是二部图。也就是说，如果一条边连接顶点i和j，则矩阵的（i，j）和（j，i）项均为1。

由于图是无向且简单的，因此其邻接矩阵是对称的，并且仅包含0和1。

细节

您应该采用N×N矩阵作为输入（任何形式，例如列表列表，字符串列表，类似C的字符串int**和大小，展平的数组，原始输入等）。

如果该图是二部图的，则函数/程序应返回/输出真实值，否则返回falsy。

测试用例

['00101',
 '00010',
 '10001',
 '01000',
 '10100'] : False
['010100',
 '100011',
 '000100',
 '101000',
 '010000',
 '010000'] : True (divide into {0, 2, 4, 5} and {1, 3})
['00',
 '00'] : True

计分

禁止直接计算答案的内建函数。

这是代码高尔夫球，因此，本月底之前最短的程序（以字节为单位）将获胜！

外壳，17个字节

§V¤=ṁΣṠMSȯDfm¬ṀfΠ

如果该图是二分图，0则输出一个正整数，否则。 在线尝试！

说明

这是一种蛮力方法：迭代顶点的所有子集S，并查看图中的所有边是否在S及其补码之间。

§V¤=ṁΣṠMSȯDfm¬ṀfΠ  Implicit input: binary matrix M.
                Π  Cartesian product; result is X.
                   Elements of X are binary lists representing subsets of vertices.
                   If M contains an all-0 row, the corresponding vertex is never chosen,
                   but it is irrelevant anyway, since it has no neighbors.
                   All-1 rows do not occur, as the graph is simple.
      ṠM           For each list S in X:
              Ṁf   Filter each row of M by S, keeping the bits at the truthy indices of S,
        S  fm¬     then filter the result by the element-wise negation of S,
         ȯD        and concatenate the resulting matrix to itself.
                   Now we have, for each subset S, a matrix containing the edges
                   from S to its complement, twice.
§V                 1-based index of the first matrix
  ¤=               that equals M
    ṁΣ             by the sum of all rows, i.e. total number of 1s.
                   Implicitly print.

Wolfram语言（Mathematica），26 25字节

Tr[#//.x_:>#.#.Clip@x]<1&

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怎么运行的

给定一个邻接矩阵A，我们找到从B = A开始然后用A ² B 替换B的固定点，偶尔将大于1的值裁剪为1。此过程的第k ^个步骤等效于Clip求幂甲^{2K + 1}，其中，第（i，j）的条目计数的从顶点i到j长度2K + 1的路径的数量; 因此，如果我们可以以奇数步数从i转到j，则固定点最终将具有非零（i，j）条目。

特别是，仅当顶点可以奇数步到达自身时，固定点的对角线才具有非零项：如果存在奇数周期。因此，当且仅当图为二部图时，固定点的迹线才为0。

这种形式的另一个25字节解决方案是Tr[#O@n//.x_:>#.#.x]===0&，以防万一这给任何人提供了有关如何将字节数推得更低的想法。

先前的努力

在解决这个问题之前，我尝试了多种方法来解决这个问题。

26个字节：矩阵指数

N@Tr[#.MatrixExp[#.#]]==0&

还依赖于邻接矩阵的奇数幂。因为x * exp（x ²）是x + x ³ + x ^5/2！+ x ^7/4！+ ...，当x是矩阵A时，它对A的每个奇数幂都有一个正项，所以当A具有奇数周期时，它的轨迹也将为零。对于大型矩阵，此解决方案非常慢。

29个字节：大奇功率

Tr[#.##&@@#~Table~Tr[2#!]]<1&

对于n×n矩阵A，找到A ^{2n + 1}，然后进行对角线检查。在此，#~Table~Tr[2#!]生成n x n个输入矩阵的2n份副本，并将其#.##& @@ {a,b,c,d}解压缩为a.a.b.c.d，从而将2n + 1份矩阵相乘。

53字节：拉普拉斯矩阵

(e=Eigenvalues)[(d=DiagonalMatrix[Tr/@#])+#]==e[d-#]&

在光谱图理论中使用模糊的结果（本pdf中的命题1.3.10）。

JavaScript，78个字节

m=>!m.some((l,i)=>m.some((_,s)=>(l=m.map(t=>t.some((c,o)=>c&&l[o])))[i]&&s%2))

输入数组的数组为0/1，输出为true / false。

f = 

m=>!m.some((l,i)=>m.some((_,s)=>(l=m.map(t=>t.some((c,o)=>c&&l[o])))[i]&&s%2))

run = () => o.value=f(i.value.trim().split('\n').map(v=>v.trim().split('').map(t=>+t)))

<textarea id=i oninput="o.value=''" style="width:100%;display:block;">010100
100011
000100
101000
010000
010000
</textarea>
<button type=button onclick="run()">Run</button>
<div>Result = <output id=o></output></div>

Pyth，25个字节

xmyss.D.DRx0dQx1d.nM*FQss

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这将返回-1falsy，任何非负整数将返回true。

怎么运行的

xmyss.D.DRx0dQx1d.nM * FQss〜完整程序，从STDIN接收邻接矩阵。

                    * FQ〜通过笛卡尔乘积减少（折叠）。
                 .nM〜拼合每个。
 m〜映射一个变量d。
         RQ〜对于输入中的每个元素，
       .D〜删除索引中的元素...
          x0d〜d中所有索引为0。
     .D〜然后从该列表中删除索引中的元素...
              x1d〜d中所有索引为1。
    s〜展平。
   s〜总和。如果[]不出现，我本可以使用s。
  y〜Double。
x〜在上面的映射中，获得...的第一个索引
                       ss〜输入矩阵中1的总数。

这在提交d315e19中有效，当前的Pyth版本TiO具有。