一个可以为任何尺寸创建的最简单的N维形状是Simplex，这是一组N + 1个点，它们彼此之间的距离相等。

对于2维，这是等边三角形，对于3维，这是正则四面体，在4维上是5单元，依此类推。

挑战

给定整数维N作为输入，输出代表该维单纯形的数组/列表/堆栈/ N个维点中的任意一个。即，N + 1个顶点彼此相等且距离不为零。

Lua中的参考实施

例子

1 -> [[0], [1]]
2 -> [[0, 0], [1, 0], [0.5, 0.866...]]
4 -> [[0, 0, 0, 0], [1, 0, 0, 0], [0.5, 0.866..., 0, 0], [0.5, 0.288..., 0.816..., 0], [0.5, 0.288..., 0.204..., 0.790...]]

笔记

• 输入是任何标准格式的数字，并且始终是大于1且小于10的整数
• 硬编码允许输入1，但不能更高。
• 输出中允许出现合理的错误。浮点算术或Trig问题可能会被忽略。
• N维单纯形的任何变换都是允许的，只要它保持正则和非零即可。
• 禁止使用标准漏洞。
• 这是代码高尔夫球，因此最少的字节获胜。

果冻，11 字节

‘½‘÷ẋW
=þ;Ç

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通过产生作品同一性矩阵的大小Ñ并用通过重复生成的列表串联它Ñ的单倍√（N + 1）+ 1，除以Ñ。

‘½‘÷ẋW – Helper link (monadic). I'll call the argument N.

‘      – Increment N (N + 1).
 ½     – Square root.
  ‘    – Increment (√(N + 1) + 1).
   ÷   – Divide by N.
    ẋ  – Repeat this singleton list N times.
     W – And wrap that into another list.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

=þ;Ç   – Main link.

=þ     – Outer product of equality.
  ;Ç   – Concatenate with the result given by the helper link applied to the input.

Python 78 66字节

lambda n:[i*[0]+[n]+(n+~i)*[0]for i in range(n)]+[n*[1+(n+1)**.5]]

当然可以改善，尤其是在处理n = 1`''时。（哪怕是一个单纯形符号也是如此？）只需意识到这是没有必要的。还是可以改善的^^

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[i*[0]+[1]+(n+~i)*[0]for i in range(n)]创建身份矩阵。所有点之间都有距离sqrt(2)。（感谢Rod的改进）

现在，我们需要n+1第-点与所有其他点的距离相同。我们必须选择(x, x, ... x)。

从远处(1, 0, ... )来(x, x, ... x)的sqrt((x-1)²+x²+...+x²)。如果我们想要一个n维单纯形，结果将是sqrt((x-1)²+(n-1)x²)，因为我们在第一点有一个1和n-1 0。简化一下：sqrt(x²-2x+1+(n-1)x²) = sqrt(nx²-2x+1)

我们希望这个距离是sqrt(2)。

sqrt(2) = sqrt(nx²-2x+1)
2 = nx²-2x+1
0 = nx²-2x-1
0 = x²-2/n*x+1/n

解决这个二次方程式（一个解决方案，另一个解决方案也很好）：

x = 1/n+sqrt(1/n²+1/n) = 1/n+sqrt((n+1)/n²) = 1/n+sqrt(n+1)/n = (1+sqrt(n+1))/n

将其n放入列表中，将该列表放入列表中，然后与身份矩阵合并。

-4字节感谢Alex Varga：

将每个向量乘以n。这会将单位矩阵的创建更改为lambda n:[i*[0]+[n]+(n+~i)*[0]（相同长度），并消除n了附加点的除法，因此它变得n*[1+(n+1)**.5]节省了两个方括号和/n。

Wolfram语言（Mathematica），46字节

IdentityMatrix@#~Join~{Table[1-(#+1)^.5,#]/#}&

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APL（Dyalog），20 18字节

1字节感谢@ngn

∘.=⍨∘⍳⍪1÷¯1+4○*∘.5

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JavaScript（ES7），70个字节

n=>[a=Array(n++).fill((1+n**.5)/--n),...a.map((_,i)=>a.map(_=>+!i--))]

@PattuX的Python答案的端口。

Wolfram语言（Mathematica），205个字节

f1 = Sqrt[# (# + 1)/2]/# /(# + 1) & ;
f2 = Sqrt[# (# + 1)/2]/# & ;
simplex[k_] := {ConstantArray[0, k]}~Join~Table[
   Table[f1[n], {n, 1, n - 1}]~Join~{f2[n]}~Join~
    ConstantArray[0, k - n],
   {n, k}]

Mathematica中的单纯形函数从开始{0,0,...]},{1,0,0,...]}，在原点放置第一个点，在x轴上放置第二个点，在x,y平面上放置第三个点，在x,y,z空间上放置第四个点等。此过程将重用所有先前的点，并在新维度中一次添加一个新点

simplex[6]={{0, 0, 0, 0, 0, 0}, {1, 0, 0, 0, 0, 0}, {1/2, Sqrt[3]/2, 0, 0, 0, 
  0}, {1/2, 1/(2 Sqrt[3]), Sqrt[2/3], 0, 0, 0}, {1/2, 1/(2 Sqrt[3]), 
  1/(2 Sqrt[6]), Sqrt[5/2]/2, 0, 0}, {1/2, 1/(2 Sqrt[3]), 1/(
  2 Sqrt[6]), 1/(2 Sqrt[10]), Sqrt[3/5], 0}, {1/2, 1/(2 Sqrt[3]), 1/(
  2 Sqrt[6]), 1/(2 Sqrt[10]), 1/(2 Sqrt[15]), Sqrt[7/3]/2}}

验证

In[64]:= EuclideanDistance[simplex[10][[#[[1]]]],simplex[10][[#[[2]]]]] & /@ Permutations[Range[10],{2}]//Simplify
Out[64]= {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

八度，31字节

由于Luis Mendo节省了2个字节。

@(n)[n*eye(n);~~(1:n)+(n+1)^.5]

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Ruby，55个字节

而不是针对所有维度返回相似的幅度，而是使用公式(1+(n+1)**0.5)/nI按比例放大n以简化公式，从而得出(1+(n+1)**0.5)

->n{(a=[n]+[0]*~-n).map{a=a.rotate}+[[1+(n+1)**0.5]*n]}

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在测试程序中取消

一个lambda函数，将其n作为参数并返回一个数组数组。

f=->n{
  (a=[n]+[0]*~-n).map{        #setup an array `a` containing `n` and `n-1` zeros. perform `n` iterations (which happens to be the the size of the array.)
  a=a.rotate}+                #in each iteration rotate `a` and return an array of all possible rotations of array `a`     
  [[1+(n+1)**0.5]*n]          #concatenate an array of n copies of 1+(n+1)**0.5
}

p f[3]                        # call for n=3 and print output

输出

[[0, 0, 3], [0, 3, 0], [3, 0, 0], [3.0, 3.0, 3.0]]

Pari / GP，37个字节

n->concat((n+1)^.5-matid(n),1^[1..n])

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R，38个字节

function(n)rbind(diag(n,n),1+(n+1)^.5)

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