编号积极理性

14

通过以下过程可以证明正有理数是可数的：

  1. 零序数0
  2. 将其他数字排列在网格中，以便a行，b列包含a / b
  3. 从右上到左下绘制对角之字形
  4. 保持锯齿形遇到的唯一数字的连续统计

这是锯齿形的图片：

从1/1开始，向右初始移动

因此，遇到的数字是按顺序

1/1, 2/1, 1/2, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 6/1, 5/2, 4/3, 3/4, 2/5, 1/6, 1/7, 2/6, 3/5, 4/4, 5/3 ...

遇到的简化的唯一数字是

1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 5, 6, 5/2, 4/3, 3/4, 2/5, 1/6, 1/7, 3/5, 5/3, ...

挑战：

  • 给定两个大于零的整数p和q，输出p / q 的序数
  • p和q不一定是互素的
  • 最短代码胜出
  • 禁止出现标准漏洞

测试用例：

以下是遇到的前24个有理数，以及每个数的期望输出：

1/1: 1
2/1: 2
1/2: 3
1/3: 4
2/2: 1
3/1: 5
4/1: 6
3/2: 7
2/3: 8
1/4: 9
1/5: 10
2/4: 3
3/3: 1
4/2: 2
5/1: 11
6/1: 12
5/2: 13
4/3: 14
3/4: 15
2/5: 16
1/6: 17
1/7: 18
2/6: 4
3/5: 19

并且，对于其他测试案例，以下是按顺序排列的200个第一个正有理数：

1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 
5, 6, 5/2, 4/3, 3/4, 2/5, 1/6, 1/7, 3/5, 5/3, 
7, 8, 7/2, 5/4, 4/5, 2/7, 1/8, 1/9, 3/7, 7/3, 
9, 10, 9/2, 8/3, 7/4, 6/5, 5/6, 4/7, 3/8, 2/9, 
1/10, 1/11, 5/7, 7/5, 11, 12, 11/2, 10/3, 9/4, 8/5, 
7/6, 6/7, 5/8, 4/9, 3/10, 2/11, 1/12, 1/13, 3/11, 5/9, 
9/5, 11/3, 13, 14, 13/2, 11/4, 8/7, 7/8, 4/11, 2/13, 
1/14, 1/15, 3/13, 5/11, 7/9, 9/7, 11/5, 13/3, 15, 16, 
15/2, 14/3, 13/4, 12/5, 11/6, 10/7, 9/8, 8/9, 7/10, 6/11, 
5/12, 4/13, 3/14, 2/15, 1/16, 1/17, 5/13, 7/11, 11/7, 13/5, 
17, 18, 17/2, 16/3, 15/4, 14/5, 13/6, 12/7, 11/8, 10/9, 
9/10, 8/11, 7/12, 6/13, 5/14, 4/15, 3/16, 2/17, 1/18, 1/19, 
3/17, 7/13, 9/11, 11/9, 13/7, 17/3, 19, 20, 19/2, 17/4, 
16/5, 13/8, 11/10, 10/11, 8/13, 5/16, 4/17, 2/19, 1/20, 1/21, 
3/19, 5/17, 7/15, 9/13, 13/9, 15/7, 17/5, 19/3, 21, 22, 
21/2, 20/3, 19/4, 18/5, 17/6, 16/7, 15/8, 14/9, 13/10, 12/11, 
11/12, 10/13, 9/14, 8/15, 7/16, 6/17, 5/18, 4/19, 3/20, 2/21, 
1/22, 1/23, 5/19, 7/17, 11/13, 13/11, 17/7, 19/5, 23, 24, 
23/2, 22/3, 21/4, 19/6, 18/7, 17/8, 16/9, 14/11, 13/12, 12/13, 
11/14, 9/16, 8/17, 7/18, 6/19, 4/21, 3/22, 2/23, 1/24, 1/25

喊出反问题，第一个步骤向下移动，因此您不能使用答案来生成其他测试用例。

code-golf  rational-numbers 
— 海姆
source
我想知道是否有替代的编码方案可以使代码更短。
— qwr
1
分数的数字：oeis.org/A157807分母：oeis.org/A157813序数序列不匹配：oeis.org/…–
— qwr
我知道了。您必须减少分数然后计数。它不是锯齿形只
— 穿上鲜艳
— 凯文·克鲁伊森

Answers:

4

果冻， 21  20 字节

使用一些聪明的数学可能会击败许多字节...

:g/
ǵSRRUĖ€UÐeẎÇ€Qi

接受列表的单子链接[p,q]将返回分配给的自然数p/q。

在线尝试！或查看测试套件。

怎么样？

首先请注意，遇到的第N 个对角线包含所有网格的有理数，分子和分母之和等于N + 1，因此给定一个将对简化为[p,q]最简单形式（[p/gcd(p,q),q/gcd(p,q)]）的函数，我们可以建立对角线需要*，减少所有条目，重复数据删除并找到简化输入的索引。

*实际上在这里再保存一个字节

:g/ - Link 1, simplify a pair: list of integers, [a, b]
  / - reduce using:
 g  - Greatest Common Divisor -> gcd(a, b)
:   - integer division (vectorises) -> [a/gcd(a,b), b/gcd(a,b)]

ǵSRRUĖ€UÐeẎÇ€Qi - Main Link: list of integers, [p, q]
Ç                - call last Link as a monad (simplify)
 µ               - start a new monadic chain (call that V)
  S              - sum -> the diagonal V will be in plus one
   R             - range -> [1,2,3,...,diag(V)+1]
    R            - range (vectorises) -> [[1],[1,2],[1,2,3],...,[1,2,3,...,diag(V)+1]]
     U           - reverse each       -> [[1],[2,1],[3,2,1],[diag(V)+1,...,3,2,1]]
      Ė€         - enumerate €ach     -> [[[1,1]],[[1,2],[2,1]],[[1,3],[2,2],[3,1]],[[1,diag(V)+1],...,[diag(V)-1,3],[diag(V),2],[diag(V)+1,1]]]
         Ðe      - apply only to the even indexed items:
        U        -   reverse each     -> [[[1,1]],[[2,1],[1,2]],[[1,3],[2,2],[3,1]],[[4,1],[3,2],[2,3],[1,4]],...]
           Ẏ     - tighten            -> [[1,1],[2,1],[1,2],[1,3],[2,2],[3,1],[4,1],[3,2],[2,3],[1,4],...]
            Ç€   - for €ach: call last Link as a monad (simplify each)
                 -                    -> [[1,1],[2,1],[1,2],[1,3],[1,1],[3,1],[4,1],[3,2],[2,3],[1,4],...]
              Q  - de-duplicate       -> [[1,1],[2,1],[1,2],[1,3],[3,1],[4,1],[3,2],[2,3],[1,4],...]
               i - index of V in that list
— 乔纳森·艾伦
source
3

Perl 6的， 94  90个字节

->\p,\q{(({|(1…($+=2)…1)}…*)Z/(1,{|(1…(($||=1)+=2)…1)}…*)).unique.first(p/q,:k)+1}

测试一下

{(({|(1…($+=2)…1)}…*)Z/(1,{|(1…(($||=1)+=2)…1)}…*)).unique.first($^p/$^q):k+1}

测试一下

这基本上会生成整个值序列，并在找到匹配项时停止。

展开：

{  # bare block lambda with placeholder parameters $p,$q

  (
      ( # sequence of numerators

        {
          |( # slip into outer sequence (flatten)

            1      # start at one
            …
            (
              $    # state variable
              += 2 # increment it by two each time this block is called
            )
            …
            1      # finish at one
          )

        }
        … * # never stop generating values
      )


    Z/   # zip using &infix:« /  » (generates Rats)


      ( # sequence of denominators

        1,  # start with an extra one

        {
          |( # slip into outer sequence (flatten)

            1
            …
            (
              ( $ ||= 1 ) # state variable that starts with 1 (rather than 0)
              += 2        # increment it by two each time this is called
            )
            …
            1
          )
        }
        … * # never stop generating values
      )


  ).unique            # get only the unique values
  .first( $^p / $^q ) # find the first one that matches the input
  :k                  # get the index instead (0 based)
  + 1                 # add one               (1 based)
}

({1…($+=2)…1}…*)生成分子的无限序列（|(…)在上面用于展平）

(1 2 1)
(1 2 3 4 3 2 1)
(1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1)
(1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1)
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1)
…

(1,{1…(($||=1)+=2)…1}…*) 生成分母的无限序列

1
(1 2 3 2 1)
(1 2 3 4 5 4 3 2 1)
(1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1)
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1)
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1)
…
— 布拉德·吉尔伯特b2gills
source
3

Python 2中，157个 144 137 134 126 125字节

def f(p,q):a=[((j-i)/(i+1.))**(j%-2|1)for j in range(p-~q)for i in range(j)];return-~sorted(set(a),key=a.index).index(p*1./q)

在线尝试！

Xcoder先生节省了4个字节；Jonathon Frech的 1个字节。

正如Xcoder先生所述，我们可以在Python 3中做得更好，因为除其他外，整数除法默认情况下会浮点结果，并且我们可以更轻松地解压缩 list s：

Python 3，117字节

def f(p,q):a=[((j-i)/-~i)**(j%-2|1)for j in range(p-~q)for i in range(j)];return-~sorted({*a},key=a.index).index(p/q)

在线尝试！

— 查斯·布朗
source
通过交换分数并使用**(j%-2|1)和，获得128个字节（-6）p-~q。
— Xcoder先生18年
@先生。Xcoder：今天，您都是负模！:)我想我仍然需要+1最后一个，因为1,1“必须”放弃1，而不是0。
— Chas Brown
— 乔纳森·弗雷希
124字节 :)是的，负模结果确实很有帮助！
— Xcoder先生18年
— Xcoder先生，18年
3

Python 3，157， 146， 140，133字节

def f(p,q):a=[(i+i-abs(j-i-i))/(abs(j-i-i+.5)+.5)for i in range(p+q)for j in range(4*i)];return sorted(set(a),key=a.index).index(p/q)

在线尝试！

由于乔纳森·弗雷奇（Jonathan Frech）赢得了11个字节

赢得了6个字节，然后又获得了7个感谢Chas Brown

— Bobrobbob
source
1
— 乔纳森·弗雷希
— Chas Brown
@bobrobbob：欢迎来到PPCG！我不太确定您的算法是如何工作的（尽管很明显）。但从实验上看，您似乎可以通过替换range(max(p,q)+1)为来节省更多字节range(p+q)。
— Chas Brown
1
您可以使用{*a}代替来节省更多字节set(a)。
— Xcoder先生
2

Ĵ，41，35，30个字节

-11字节归功于FrownyFrog

%i.~0~.@,@,[:]`|./.[:%/~1+i.@*

在线尝试！

原始的41个字节，带解释

%>:@i.~[:([:~.@;[:<@|.`</.%"1 0)~(1+i.@*)

不打高尔夫球

% >:@i.~ [: ([: ~.@; [: <@|.`</. %"1 0)~ 1 + i.@*

说明

                  +
                  | Everything to the right of this
                  | calculates the list
p (left arg)      |                                      create the
divided by q      |                                      diagonals.  yes,
      (right)     |                                     +this is a         +create this list
   |              |        ++ finally rmv ^alternately  |primitive ADVERB  |1..(p*q), and pass
   |   + the index          | the boxes,  |box, or      |in J              |it as both the left
   |   | of that  |         | and remove  |reverse and  |                  |and right arg to the
   |   | in the   |         | any dups    |box, each    |                  |middle verb, where each
   |   | list on  |         |             |diagonal     |                  |element will divide the
   |   | the right|         |             |             |       +----------+entire list, producing
   |   | plus 1   |         |             |             |       |          |the undiagonalized grid
   |   |          |         |             |             |       |          |
   |   |          |         |             |             |       |          |
   |   |          +         |             |             |       |          |
  ┌+┬──|──────────┬─────────|─────────────|─────────────|───────|──────────|─────────────┐
  │%│┌─+───────┬─┐│┌──┬─────|─────────────|─────────────|───────|────────┬─|────────────┐│
  │ ││┌──┬─┬──┐│~│││[:│┌────|─────────────|─────────────|───────|─────┬─┐│┌+┬─┬────────┐││
  │ │││>:│@│i.││ │││  ││┌──┬|───────┬─────|─────────────|───────|────┐│~│││1│+│┌──┬─┬─┐│││
  │ ││└──┴─┴──┘│ │││  │││[:│+──┬─┬─┐│┌──┬─|─────────────|─┬─────|───┐││ │││ │ ││i.│@│*││││
  │ │└─────────┴─┘││  │││  ││~.│@│;│││[:│┌|───────────┬─+┐│┌─┬─┬+──┐│││ │││ │ │└──┴─┴─┘│││
  │ │             ││  │││  │└──┴─┴─┘││  ││+────────┬─┐│/.│││%│"│1 0││││ ││└─┴─┴────────┘││
  │ │             ││  │││  │        ││  │││┌─┬─┬──┐│<││  ││└─┴─┴───┘│││ ││              ││
  │ │             ││  │││  │        ││  ││││<│@│|.││ ││  ││         │││ ││              ││
  │ │             ││  │││  │        ││  │││└─┴─┴──┘│ ││  ││         │││ ││              ││
  │ │             ││  │││  │        ││  ││└────────┴─┘│  ││         │││ ││              ││
  │ │             ││  │││  │        ││  │└────────────┴──┘│         │││ ││              ││
  │ │             ││  │││  │        │└──┴─────────────────┴─────────┘││ ││              ││
  │ │             ││  ││└──┴────────┴────────────────────────────────┘│ ││              ││
  │ │             ││  │└──────────────────────────────────────────────┴─┘│              ││
  │ │             │└──┴──────────────────────────────────────────────────┴──────────────┘│
  └─┴─────────────┴──────────────────────────────────────────────────────────────────────┘

在线尝试！

— 约拿
source
35：1+~.@;@([:<@|.`</.%~/~)@(1+i.@*)i.%
— FrownyFrog
谢谢你，你人真好！我稍后将对其进行全面更新，因为这将需要重做解释...
— 乔纳
和30：%i.~0~.@,@,[:]`|./.[:%/~1+i.@*
— FrownyFrog
那很聪明，请使用0和〜。为了避免拳击和增量，我喜欢它
— 约拿（Jonah）
2

Python 3，121字节

import math
def o(x,y):
 p=q=n=1
 while x*q!=p*y:a=p+q&1;p+=1+a*~-~-(p<2);q+=1-~-a*~-~-(q<2);n+=math.gcd(p,q)<2
 return n
— 奥尔普
source
2

锈，244字节

我创建了一个简单的公式，使用三角数公式来查找“普通”之字形的“普通”序数，而没有拼图的限制：https : //www.mathsisfun.com/algebra/triangular-numbers.html。使用模2对其进行了修改，以解决之字形在拼图中每个对角线的行进方向上的翻转。这是函数h（）

然后是这个难题的主要技巧：如何在锯齿形轨迹中“不计算”某些重复值，例如3/3 vs 1 / 1、4 / 2 vs 2/1。我运行了1-200个示例，并注意到普通的锯齿形三角计数器与拼图所希望的那种三角形计数器之间的区别是有模式的。“缺失”数字的模式是5、12、13、14、23等，这导致OEIS受到打击。它是由Robert A Stump在https://oeis.org/A076537上描述的，为了“去重复” 3 / 3、4 / 2和1/1等数字，您可以检查GCD是否大于1之字形中所有“先前”序号的x，y。这是“ for”循环，而g（）是gcd。

我猜想用一些内置的gcd会更短一些，但是我却很难找到一个（在Rust和Integer中我觉得很新，这让我感到困惑），我喜欢这个事实，它使用了直接向上的整数运算，且没有任何内置程序或库。 

fn f(x:i64,y:i64)->i64 {
        fn h(x:i64,y:i64)->i64 {let s=x+y;(s*s-3*s+4)/2-1+(s+1)%2*x+s%2*y}
        fn g(x:i64,y:i64)->i64 {if x==0 {y} else {g(y%x,x)}}
        let mut a=h(x,y);
        for i in 1..x+y {for j in 1..y+x {if h(i,j)<h(x,y) && g(i,j)>1 {a-=1;}}}
        a
}
— 唐明亮
source
1

JavaScript（ES6），86个字节

以currying语法接受输入(p)(q)。

p=>q=>(g=x=>x*y?x*q-y*p?g(x+d,g[x/=y]=g[x]||++n,y-=d):n:g(x+!~d,y+=!~(d=-d)))(d=n=y=1)

在线尝试！

— Arnauld
source
0

Javascript，79个字节

a=(p,q)=>p*q==1?1:1+((p+q)%2?q==1?a(p-1,q):a(p+1,q-1):p==1?a(p,q-1):a(p-1,q+1))

（我是打高尔夫球的新手，因此可以很容易地对此进行改进）

说明

let a = (p, q) => p * q == 1 // If they are both 1
    ? 1
    // Do a recursive call and increment the result by 1
    : 1 + (
        (p + q) % 2 // If on an even-numbered diagonal
        ? q == 1 // If at the beginning of the diagonal
            ? a(p - 1, q) // Go to previous diagonal
            : a(p + 1, q - 1) // Go one back
        : p == 1 // rougly the same
            ? a(p, q - 1)
            : a(p - 1, q + 1)
    )
— 巴里12
source
4
(3,5)应导致19（没有24），因为(1,1)==(2,2)==(3,3)，(2,4)==(1,2)，(4,2)==(2,1)和(2,6)==(1,3)。（即(2,2)应导致1not 5等等）
— Jonathan Allan
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