背景：Ramsey数$R(r,s)$给出的顶点的最小数目$v$的完全图$K_v$，使得红色/蓝色边缘的着色$K_v$具有至少一个红$K_r$或一个蓝色$K_s$。对于较大的边界$r, s$是很难建立。

你的任务是输出数$R(r,s)$为$1 \le r,s \le 5$。

输入值

两个整数$r, s$用$1 \le r \le 5$和$1 \le s \le 5$。

输出量

$R(r,s)$表中给出的 R （r ，s ）：

  s   1    2    3    4      5
r +--------------------------
1 |   1    1    1    1      1
2 |   1    2    3    4      5
3 |   1    3    6    9     14
4 |   1    4    9   18     25
5 |   1    5   14   25  43-48

请注意，$r$和$s$是可互换的：$R(r,s) = R(s,r)$。

为你可以输出之间的任何整数43和48，包括端值。在发布此问题时，这些是最著名的界限。$R(5,5)$$43$$48$

JavaScript（ES6），51 49字节

以currying语法接受输入(r)(s)。

r=>s=>--r*--s+[9,1,,13,2,,3,27,6][r<2|s<2||r*s%9]

在线尝试！

怎么样？

作为第一近似，我们使用以下公式：

 0  0  0  0  0
 0  1  2  3  4
 0  2  4  6  8
 0  3  6  9 12
 0  4  8 12 16

$\min(r,s)<3$$1$

 1  1  1  1  1
 1  2  3  4  5
 1  3  -  -  -
 1  4  -  -  -
 1  5  -  -  -

否则，我们添加一个从查找表中选取的值，该值的键由以下项定义：$k$

 k:                    table[k]:           (r-1)(s-1):         output:
 -  -  -  -  -         -  -  -  -  -       -  -  -  -  -       -  -  -  -  -
 -  -  -  -  -         -  -  -  -  -       -  -  -  -  -       -  -  -  -  -
 -  -  4  6  8   -->   -  -  2  3  6   +   -  -  4  6  8   =   -  -  6  9 14
 -  -  6  0  3         -  -  3  9 13       -  -  6  9 12       -  -  9 18 25
 -  -  8  3  7         -  -  6 13 27       -  -  8 12 16       -  - 14 25 43

JavaScript（Node.js），56 55字节

f=(x,y)=>x<2|y<2||f(x,y-1)+f(x-1,y)-(x*y==12)-7*(x+y>8)

在线尝试！我注意到该表类似于Pascal的三角形，但具有校正因子。编辑：由于@sundar，节省了1个字节。

果冻， 17  16 字节

’ScḢƊ_:¥9“ ı?0‘y

在线尝试！或见一个测试套件。

更换0用+，,，-，.，或/以组等于，，，，或分别（而不是在这里）。43 44 45 46 47 $R(5,5)$$43$$44$$45$$46$$47$$48$

怎么样？

由于我们可能会发现：$R(r,s)\leq R(r-1,s)+R(r,s-1)$

这是’ScḢƊ并且会产生：

 1  1  1  1  1
 1  2  3  4  5
 1  3  6 10 15
 1  4 10 20 35
 1  5 15 35 70

如果在结果中每有9个结果减去1，则我们的目标将再增加3个（通过实现_:¥9）：

 1  1  1  1  1
 1  2  3  4  5
 1  3  6  9 14
 1  4  9 18 32
 1  5 14 32 63

然后，可以使用Jelly的原子和代码页索引来转换其余两个不正确的值和。$32$$63$y“ ı?0‘y

’ScḢƊ_:¥9“ ı?0‘y - Link: list of integers [r, s]
’                - decrement              [r-1, s-1]
    Ɗ            - last 3 links as a monad i.e. f([r-1, s-1]):
 S               -   sum                  r-1+s-1 = r+s-2
   Ḣ             -   head                 r-1
  c              -   binomial             r+s-2 choose r-1
        9        - literal nine
       ¥         - last 2 links as a dyad i.e. f(r+s-2 choose r-1, 9):
      :          -   integer division     (r+s-2 choose r-1)//9
     _           -   subtract             (r+s-2 choose r-1)-((r+s-2 choose r-1)//9)
         “ ı?0‘  - code-page index list   [32,25,63,48]
               y - translate              change 32->25 and 63->48

Python 2，62个字节

def f(c):M=max(c);u=M<5;print[48,25-u*7,3*M+~u-u,M,1][-min(c)]

在线尝试！

Python 2，63个字节

def f(c):M=max(c);print[48,M%2*7+18,3*~-M+2*(M>4),M,1][-min(c)]

在线尝试！

这太荒谬了，我很快会后悔发表了这篇文章...但是，\\ _（ツ）_ /¯。多亏了我们的Jonathan Allan :) 减少了1个字节。虽然很快就会超出大约20个字节...

朱0.6，71个 61 59 57字节

A->((r,s)=sort(A);r<3?s^~-r:3r+(s^2-4s+3)*((r==s)+r-2)-3)

在线尝试！

取消高尔夫（嗯，更具可读性）：

function f_(A)
  (r, s) = sort(A)

  if r < 3
    result = s^(r-1)
  else
    result = 3*r + 
               (s^2 - 4*s + 3) * ((r == s) + r - 2) -
               3
  end

  return result
end

它有什么作用？

将输入作为A包含r和s的数组。使用，将数组解压缩为r和s，其中较小的数字为r (r,s)=sort(A)。

如果r为1，则输出应为1。如果r为2，则输出应为s。对于r = 1，将为对于r = 2，则。 因此，或更短地说，
$s^{r - 1}$$s^0 = 1$$s^1 = s$
r<3?s^(r-1)r<3?s^~-r

对于其他人，我首先注意到输出为：

• 对于r = 3，2（分别对于s = 3，4，5）。 $2\times3 + [0, 3, 8]$
• 对于r = 4，2（分别对于s = 4，5）$2\times4 + \ \ [10, 17]$
• 对于r =（对于s = 5）$2\times5 + \ \ \ \ \ [35]$

（为方便起见，我最初使用f（5,5）= 45。）

这看起来像是潜在的可用模式-它们共有一个2r共同点，即17是8 * 2 + 1，35是17 * 2 + 1，10是3 * 3 + 1。我首先从[0，3，8]中提取基值，[0 3 8][s-2]（后来变得更短(s^2-4s+3)）。

试图获得r = 3、4和5的正确值的过程经历了很多阶段，包括

2r+[0 3 8][s-2]*(r>3?3-s+r:1)+(r-3)^3+(r>4?1:0)

和

2r+(v=[0 3 8][s-2])+(r-3)*(v+1)+(r==s)v

扩展后者并简化它导致发布代码。

86，49 37个字节

不是非常优化，只是利用表的前三行的属性。在编写此代码时，我意识到代码基本上是一个跳转表，因此跳转表可以节省很多字节。在eax和中输入，在中ebx输出eax。

通过将的情况合并r >= 3到一个查询表（最初只是r >= 4）中，并使用彼得·科德斯（Peter Cordes）的cmp/ jae/ 建议，同时jne仍设置标志，以便r1,r2,r3仅用一个标志来区分-12 cmp！还可以使用恒定偏移量聪明地索引到表中。

start:
        cmp     %ebx, %eax
        jbe     r1
        xchg    %eax, %ebx              # ensure r <= s

r1:
        cmp     $2, %al             
        jae     r2                      # if r == 1: ret r
        ret

r2:     
        jne     r3                      # if r == 2: ret s 
        mov     %ebx, %eax
        ret

r3:
        mov     table-6(%ebx,%eax),%al  # use r+s-6 as index
        sub     %al, %bl                # temp = s - table_val
        cmp     $-10, %bl               # equal if s == 4, table_val == 14
        jne     exit
        add     $4, %al                 # ret 18 instead of 14 

exit:
        ret                        

table:
        .byte   6, 9, 14, 25, 43

十六进制转储

00000507  39 d8 76 01 93 3c 02 73  01 c3 75 03 89 d8 c3 8a  |9.v..<.s..u.....|
00000517  84 03 21 05 00 00 28 c3  80 fb f6 75 02 04 04 c3  |..!...(....u....|
00000527  06 09 0e 19 2b                                    |....+|

Python 2，70个字节

f=lambda R,S:R<=S and[1,S,[6,9,14][S-3],[18,25][S&1],45][R-1]or f(S,R)

在线尝试！

MATL，25 21字节

+2-lGqXnt8/k-t20/k6*-

在MATL Online上尝试

尝试将Jonathan Allan的Jelly答案移植到MATL。

+2-lGqXn-与该答案相同：计算$\binom{r+s-2}{r-1}$

t8/k -复制该数字，除以8和下限

- -从先前的结果中减去（我们减去数字中的8而不是果冻答案中的9的次数。除35和70外，其余所有结果相同，此处为31和62。）

t20/k -也复制该结果，将其除以20并减去本底（将0表示已经正确的结果，将1表示为31，将3表示为62）

6* -乘以6

- -从结果中减去（31-6 = 25，62-18 = 44）

较旧：

+t2-lGqXntb9<Q3w^/k-t20>+

在MATL Online上尝试

Python 3，74个字节

lambda *a:[[1]*5,[2,3,4,5],[6,9,14],[18,25],[43]][min(a)-1][max(a)-min(a)]

在线尝试！

质子 52字节

我的Python回答的近端端口。

c=>[48,(M=max(c))%2*7+18,3*M-(M>4?1:3),M,1][-min(c)]

在线尝试！

Java 8，62字节

(r,s)->--r*--s+new int[]{9,1,0,13,2,0,3,27,6}[r<2|s<2?1:r*s%9]

Lambda函数，Arnauld的JavaScript 答案端口。在这里在线尝试。

Java，83个字节

int f(int x,int y){return x<2|y<2?1:f(x,y-1)+f(x-1,y)-(x*y==12?1:0)-7*(x+y>8?1:0);}

递归函数，Neil的JavaScript 答案端口。在这里在线尝试。

C（gcc），57个字节

f(x,y){x=x<2|y<2?:f(x,y-1)+f(x-1,y)-(x*y==12)-7*(x+y>8);}

递归函数，Neil的JavaScript 答案端口。在这里在线尝试。

C（gcc），63个字节

f(r,s){r=--r*--s+(int[]){9,1,0,13,2,0,3,27,6}[r<2|s<2?:r*s%9];}

Arnauld的JavaScript 答案端口。在这里在线尝试。