正如标题所示，此问题是@NP 礼貌的近视醉酒机器人的半启发

我们的可怜机器人在原点放置在笛卡尔网格上，每分钟之后，它会在四个方向（上，下，左，右）中的一个方向上移动1个单位。

之后ñ分钟，所有对电网活化潜在的地雷，杀死任何僵尸差可能会发现自己在他们。地雷位于满足等式| y | = | x |的所有整数坐标处。

挑战

作为输入，作为输出，您将获得n，即地雷爆炸发生前的分钟数n，您必须找到机器人死亡的可能性。

输入：代表n的自然数。

输出：让僵尸死亡的概率为p / q，其中p和q是相对质数（q不能为0，但p可以）。输出p。

规则

• 您的算法不得以指数或更高的时间运行。理想情况下，它应在多项式时间内或更短的时间内运行。
• 您的算法必须能够n在合理的时间内处理<20的输入（如果太难的话可以调整）。
• 这是一个代码高尔夫挑战。
• 对于给定的n遍历所有可能性，绝对不会被视为答案。

测试用例

1->0

2->3

4->39

6->135

8->7735

10->28287

n = 6的示例计算

我们有4种可能的移动方式：U，D，R和L。可采用的路径总数为4 ^ 6或4096。有4种可能的情况沿y = x着陆：x，y = ±1; x，y =±2; x，y =±3; 或x = y =0。我们将计算出以（1,1），（2,2）和（3,3）结束的方法数量，将它们乘以4即可得出其他象限，然后相加这就是最终以（0,0）结束的方式数量。

情况1：机器人在（3，3）处结束。为了使机器人在这里结束，它必须进行3次正确的动作，以及3次向上的动作。换句话说，到达此处的总方法是重新排列序列RROUUU中的字母的方法，即6选择3 = 20。

情况2：机器人在（2,2）结束。为了使机器人在此处结束，它可以进行2次向上移动，3次向右移动和1次向左移动；或2个向右移动，3个向上移动和1个向下移动。因此，到达此处的方法总数是重新排列序列RRRLUU和UUUDRR中的字母的方法的总和，二者均为（6选择1）*（5选择2）= 60，总共有120种可能性。

情况3：机器人在（1,1）结束。为了使机器人在此处结束，可能需要执行以下操作：1个向右移动，3个向上移动和2个向下移动。在这种情况下，重新排列RUUUDD序列中字母的方式为（6选择1）*（5选择2）= 60。

1个向上移动，3个向右移动和2个向左移动。在这种情况下，按顺序URRRLL重新排列字母的方式为（6选择1）*（5选择2）= 60。

向右移动2个，向左移动1个，向上移动2个，向下移动1个。在这种情况下，重新排列序列UUDRRL中的字母的方式为（6选择1）*（5选择1）*（4选择2）= 180。

因此，最终以（1,1）结束的方式总数为300。

情况4：机器人在（0,0）结束。为了使该机器人最终能够在这里运行，它可能需要：

3个向右移动和3个向左移动。在这种情况下，重新排列序列RRLLLL中的字母的方式为（6选择3）= 20。

3个上移和3个下移。在这种情况下，重新排列序列UUUDDD中的字母的方式为（6选择3）= 20。

1个右移，1个左移，2个上移和2个下移。在这种情况下，重新排列序列RLUUDD中的字母的方式为（6选择1）*（5选择1）*（4选择2）= 180。

1个上移，1个下移，2个右移和2个左移。在这种情况下，重新排列序列RRLLUD中的字母的方式为（6选择1）*（5选择1）*（4选择2）= 180。

因此，最终以（0,0）结束的方式总数为400。

将这些情况加在一起，我们得出以| y |结尾的方法总数 = | x | 是4（20 + 120 + 300）+ 400 =2160。因此，我们的概率是2160/4096。当该分数完全减小时，它是135/256，因此我们的答案是135。

Python 2，65个字节

def p(n):b=2**n;r=b*b-((~b)**n/b**(n/2)%-b)**2;print~n%2*r/(r&-r)

在线尝试！

机器人死亡的概率可以表示为：

$$f(n) = 2s-s^2\text{, where } s=\frac{1}{2^n}\binom{n}{n/2}$$

当不完整时，将二项式理解为等于。$0$$n/2$

我们可以这样推理。机器人到达线的机率是多少？如果向上和向左移动的总数等于向下和向右移动的总数，则会发生这种情况。假设您掷硬币次并获得与正面一样多的尾巴，这是相同的概率。您必须选择翻转为翻转的头部，这可以以方式完成，总共可能的序列，从而给出概率$y=x$$n$$n/2$$n$$\binom{n}{n/2}$$2^n$

着陆线的概率也为。因此，任一行着陆的概率是这些乘积或的总和，除了我们要重复计算两行中着陆的概率，并且必须减去它以进行补偿。$y=-x$$s$$2s$$x=y=0$

事实证明，降落在上的概率仅为，即降落在每条线上的概率的乘积。我们可以说事件是独立的，如下所示：如果我们选择相等数目的“上或左”和“下或右”的随机序列落在并且同样使用“上或右”和“下或左”对于，我们可以通过获取每个位置的方向对的交点，将它们唯一地组合为上，下，左，右的序列。$x=y=0$$s^2$$x=y$$x=-y$

因此，降落在或上的概率为。$x=y$$x=-y$$2s-s^2$

代码计算二项式使用此表达式作为用碱。为了从概率分数中提取分子，我们注意到分母是2的幂，因此我们使用表达式将2的最大幂除以，即经典位把戏。$\binom{n}{n/2}$(b+1)**n/b**(n/2)%bb=2**nr/(r&-r)rr&-r

通过将写为来求解该解决方案，以便仅被引用一次，并且不使用分数来保持整数。即使使用二项式计算的时髦方式，该计算也是多项式时间。$2s-s^2$$1-(1-s)^2$$s$$1/2^n$$n$

在写出机器人死亡可能性的证明之后，我发现了一种可能更干净的方式来证明它并提出。

在机器人每次移动后，让我们跟踪和的值。向上，向下，向左和向右四个方向中的每均可递增或递减和，四个方向分别对应于四个组合。$a=x+y$$b=x-y$$a$$b$

因此，随机移动等效于将随机添加到并独立地将加到。这等效于对和进行单独的随机游动。$\pm 1$$a$$\pm 1$$b$$a$$b$

现在，当或时，机器人恰好在或线上结束。因此，以结尾的概率为，同样对于。由于游走是独立的，因此和的概率为，因此至少一个为零的概率为补数。$x=y$$x=-y$$a=0$$b=0$$a=0$$s=\frac{1}{2^n}\binom{n}{n/2}$$b=0$$a\neq 0$$b\neq 0$$(1-s)^2$$1-(1-s)^2$