定义

二次残基

如果存在整数，则整数称为为模的二次余数： $r$ $n$ $x$

x^{2} \equiv r (\mod n)

$x^2\equiv r \pmod n$

可以通过查看对于的结果，简单地计算出模 $n$ 的二次 $x^2 \bmod n$ 。 $0 \le x \le \lfloor n/2\rfloor$

挑战顺序

我们定义 $a_n$ 作为相同值的出现的最小数目 $(r_0-r_1+n) \bmod n$ 对于所有对 $(r_0,r_1)$ 二次剩余的模 $n$ 。

前30个术语是：

1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 4, 1, 1, 4, 2, 5, 1, 2, 6, 6, 1, 2, 6, 2, 2, 7, 2

$1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 4, 1, 1, 4, 2, 5, 1, 2, 6, 6, 1, 2, 6, 2, 2, 7, 2$

这是A316975（由我自己提交）。

示例： $n=10$

二次模的残基 $10$ 是 $0$ ， $1$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ 和 $9$ 。

对于这些二次残基的每对 $(r_0,r_1)$ ，我们计算 $(r_0-r_1+10) \bmod 10$ ，从而得出下表（其中 $r_0$ 在左侧， $r_1$ 在顶部）：

\begin{array}{ccccccc} 0 & 1 & 4 & 5 & 6 & 9 \\ 0 & 0 & 9 & 6 & 5 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 7 & 6 & 5 & 2 \\ 4 & 4 & 3 & 0 & 9 & 8 & 5 \\ 5 & 5 & 4 & 1 & 0 & 9 & 6 \\ 6 & 6 & 5 & 2 & 1 & 0 & 7 \\ 9 & 9 & 8 & 5 & 4 & 3 & 0 \end{array}

$\begin{array}{c|cccccc} & 0 & 1 & 4 & 5 & 6 & 9\\ \hline 0 & 0 & 9 & 6 & 5 & 4 & 1\\ 1 & 1 & 0 & \color{blue}7 & 6 & 5 & \color{green}2\\ 4 & 4 & \color{magenta}3 & 0 & 9 & \color{red}8 & 5\\ 5 & 5 & 4 & 1 & 0 & 9 & 6\\ 6 & 6 & 5 & \color{green}2 & 1 & 0 & \color{blue}7\\ 9 & 9 & \color{red}8 & 5 & 4 & \color{magenta}3 & 0 \end{array}$

上表中出现相同值的最小次数为（对于，，和）。因此。 $2$ $\color{green}2$ $\color{magenta}3$ $\color{blue}7$ $\color{red}8$ $a_{10}=2$

你的任务

您可以：
- 取整数并打印或返回（0索引或1索引） $n$ $a_n$
- 取整数并打印或返回序列的第一项 $n$ $n$
- 不输入任何内容并永久打印序列
您的代码必须能够在不到1分钟的时间内处理序列的50个第一个值。
如果有足够的时间和内存，理论上您的代码必须能为您的语言支持的任何正整数工作。
这是代码高尔夫球。

code-golf sequence number-theory

— Arnauld
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9

希望获得在OEIS上发布的序列！

— AdmBorkBork

@AdmBorkBork谢谢。：）（事实上，我通常避免按原样发布OEIS序列，这是一个挑战，但我想这

— 对它来说还

6

不会在+n里面(...)mod n有没有影响？如果是这样，那是定义的一部分很奇怪。

— 乔纳森·艾伦，

3

@JonathanAllan实际上，我在序列的草稿版本中做了类似的评论，并建议将其删除。但是我没有找到任何明确的共识，也没有得到任何反馈。（而且我似乎还记得用过的其他序列(some_potentially_negative_value + n) mod n。）但是，我认为最好将其用于编程挑战中，因为结果的符号取决于语言。

— Arnauld

1

我试图找到一个没有成功的直接公式。该序列是可乘的，在质数上等于a_p = round(p/4)，这为我们提供了所有无平方数的值。但是从素数的幂来看，情况似乎很复杂，3 mod 4和1 mod 4的情况需要分开处理。

— xnor

5

MATL，14字节

:UG\u&-G\8#uX<

在线尝试！或验证前30个值。

说明

:      % Implicit input. Range
U      % Square, element-wise
G      % Push input again
\      % Modulo, element-wise
u      % Unique elements
&-     % Table of pair-wise differences
G      % Push input
\      % Modulo, element-wise
8#u    % Number of occurrences of each element
X<     % Minimum. Implicit display

— 路易斯·门多
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4

Japt `-g`，22 20字节

花了太长时间才弄清楚挑战到底是什么，但没有时间继续打高尔夫球：\

输出n序列中的th项。输入时开始挣扎>900。

õ_²uUÃâ ïÍmuU
£è¥XÃn

试试看或检查结果0-50

说明

                  :Implicit input of integer U
õ                 :Range [1,U]
 _                :Map
  ²               :  Square
   uU             :  Modulo U
     Ã            :End map
      â           :Deduplicate
        ï         :Cartesian product of the resulting array with itself
         Í        :Reduce each pair by subtraction
          m       :Map
           uU     :  Absolute value of modulo U
\n                :Reassign to U
£                 :Map each X
 è                :  Count the elements in U that are
  ¥X              :   Equal to X
    Ã             :End map
     n            :Sort
                  :Implicitly output the first element in the array

— 毛茸茸
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4

果冻， 13 10 字节

-1感谢Dennis（用前导符强制进行二进位解释ð）
-2还要感谢Dennis（由于可以对重复项进行重复数据删除，因此我们可以避免使用Rand和a 2）

ðp²%QI%ĠẈṂ

接受正整数的单子链接，该正整数产生非负整数。

在线尝试！或查看前50个学期。

怎么样？

ðp²%QI%ĠẈṂ - Link: integer, n                   e.g. 6
ð          - start a new dyadic chain - i.e. f(Left=n, Right=n)
 p         - Cartesian product of (implicit ranges)  [[1,1],[1,2],[1,3],[1,4],[1,5],[1,6],[2,1],[2,2],[2,3],[2,4],[2,5],[2,6],[3,1],[3,2],[3,3],[3,4],[3,5],[3,6],[4,1],[4,2],[4,3],[4,4],[4,5],[4,6],[5,1],[5,2],[5,3],[5,4],[5,5],[5,6],[6,1],[6,2],[6,3],[6,4],[6,5],[6,6]]
  ²        - square (vectorises)                     [[1,1],[1,4],[1,9],[1,16],[1,25],[1,36],[4,1],[4,4],[4,9],[4,16],[4,25],[4,36],[9,1],[9,4],[9,9],[9,16],[9,25],[9,36],[16,1],[16,4],[16,9],[16,16],[16,25],[16,36],[25,1],[25,4],[25,9],[25,16],[25,25],[25,36],[36,1],[36,4],[36,9],[36,16],[36,25],[36,36]]
   %       - modulo (by Right) (vectorises)          [[1,1],[1,4],[1,3],[1,4],[1,1],[1,0],[4,1],[4,4],[4,3],[4,4],[4,1],[4,0],[3,1],[3,4],[3,3],[3,4],[3,1],[3,0],[4,1],[4,4],[4,3],[4,4],[4,1],[4,0],[1,1],[1,4],[1,3],[1,4],[1,1],[1,0],[0,1],[0,4],[0,3],[0,4],[0,1],[0,0]]
    Q      - de-duplicate                            [[1,1],[1,4],[1,3],[1,0],[4,1],[4,4],[4,3],[4,0],[3,1],[3,4],[3,3],[3,0],[0,1],[0,4],[0,3],[0,0]]
     I     - incremental differences (vectorises)    [0,3,2,-1,-3,0,-1,-4,-2,1,0,-3,1,4,3,0]
      %    - modulo (by Right) (vectorises)          [0,3,2,5,3,0,5,2,4,1,0,3,1,4,3,0]
       Ġ   - group indices by value                  [[1,6,11,16],[10,13],[3,8],[2,5,12,15],[9,14],[4,7]]
        Ẉ  - length of each                          [3,2,2,4,2,2]
         Ṃ - minimum                                 2

— 乔纳森·艾伦
source

3

05AB1E，22 20 15 13 字节

LnI%êãÆI%D.m¢

-2个字节感谢@Mr。Xcoder。

在线尝试或验证前99个测试用例（约3秒钟）。（注意：在TIO上使用的是Python旧版本，而不是新的Elixir重写。它的速度提高了约10倍，但需要尾随¬（头部），因为它.m返回的是列表而不是单个项目，我已将其添加到页脚中。）

说明：

L       # Create a list in the range [1, (implicit) input]
 n      # Square each
  I%    # And then modulo each with the input
    ê   # Sort and uniquify the result (faster than just uniquify apparently)
 ã      # Create pairs (cartesian product with itself)
  Æ     # Get the differences between each pair
   I%   # And then modulo each with the input
D.m     # Take the least frequent number (numbers in the legacy version)
   ¢    # Take the count it (or all the numbers in the legacy version, which are all the same)
        # (and output it implicitly)

— 凯文·克鲁伊森
source

Ýns%ÙãÆI%D.m¢。（不是旧版，而是新版本）

— Xcoder先生

@ Mr.Xcoder嗯，我是一个白痴，Dâ而不是ã..>。>，而且不知道.mElixir重写中的行为有所不同。我最初使用的是新版本，但是在我注意到该版本¥不起作用（已使用修复了该问题Æ）后，改用旧版本。我仍然在TIO上使用旧版，因为它可以更快地应对这一挑战。

— 凯文·克鲁伊森

3

C（GCC），202个 200 190 188 187 186字节

多亏了ceilingcat，节省了两个十二十四十五个字节。
保存一个字节。

Q(u,a){int*d,*r,A[u],t,i[a=u],*c=i,k;for(;a--;k||(*c++=a*a%u))for(k=a[A]=0,r=i;r<c;)k+=a*a%u==*r++;for(r=c;i-r--;)for(d=i;d<c;++A[(u+*r-*d++)%u]);for(t=*A;++a<u;t=k&&k<t?k:t)k=A[a];u=t;}

在线尝试！

— 乔纳森·弗雷奇
source

@ceilingcat很酷；声明另一个整数实际上可以保存另一个字节。

— 乔纳森·弗雷希

@ceilingcat我认为这些表达式并不等效，因为我需要最小的正模余数。

— 乔纳森·弗雷希

1

Python 2，97字节

def f(n):r={i*i%n for i in range(n)};r=[(s-t)%n for s in r for t in r];return min(map(r.count,r))

在线尝试！

— 查斯·布朗
source

1

K（ngn / k），29个字节

{&/#:'=,/x!r-\:r:?x!i*i:!x}

在线尝试！

{ } 带参数的功能 x

!x从0到的整数x-1

i: 分配给 i

x! 模 x

? 独特

r: 分配给 r

-\: 从每个左边减去

r-\:r 所有差异的矩阵

x! 模 x

,/ 连接矩阵的行

= 组，将字典从唯一值返回到出现索引列表

#:' 字典中每个值的长度

&/ 最低

— ngn
source

1

Wolfram语言（Mathematica），64字节

Min[Last/@Tally@Mod[Tuples[Union@Mod[Range@#^2,#],2].{1,-1},#]]&

在线尝试！

— Alephalpha
source

1

红宝石，88字节

->n{(z=(w=(0..n).map{|x|x*x%n}|[]).product(w).map{|a,b|(a-b)%n}).map{|c|z.count(c)}.min}

在线尝试！

— 国标
source

1

APL（Dyalog Unicode），28 24字节

{⌊/⊢∘≢⌸∊⍵|∘.-⍨∪⍵|×⍨⍳⍵+1}

在线尝试！

前缀直接功能。用途⎕IO←0。

感谢Cows quack提供的4个字节！

怎么样：

{⌊/⊢∘≢⌸∊⍵|∘.-⍨∪⍵|×⍨⍳⍵+1} ⍝ Dfn, argument ⍵

                   ⍳⍵+1 ⍝ Range [0..⍵]
                 ×⍨     ⍝ Squared
               ⍵|       ⍝ Modulo ⍵
              ∪         ⍝ Unique
          ∘.-⍨          ⍝ Pairwise subtraction table
       ∊⍵|              ⍝ Modulo ⍵, flattened
      ⌸                 ⍝ Key; groups indices (in its ⍵) of values (in its ⍺).
   ⊢∘≢                  ⍝ Tally (≢) the indices. This returns the number of occurrences of each element.
 ⌊/                      ⍝ Floor reduction; returns the smallest number.

— J·萨莱
source

1

几个小字节的2*⍨×⍨r←¨⊂r∘.-⍨{≢⍵}⊢∘≢

— 剃须

二次残差非常有趣！

定义

二次残基

挑战顺序

示例：n=10n=10n=10

你的任务

MATL，14字节

说明

Japt -g，22 20字节

说明

果冻， 13 10 字节

怎么样？

05AB1E，22 20 15 13 字节

C（GCC） ，202个 200 190 188 187 186字节

Python 2，97字节

K（ngn / k），29个字节

Wolfram语言（Mathematica），64字节

红宝石，88字节

APL（Dyalog Unicode），28 24字节

怎么样：

示例： $n=10$

Japt `-g`，22 20字节

C（GCC），202个 200 190 188 187 186字节