9

问题

给定一个值n，想象一下在（2,0）的参考（0，0）中刻出的山地景观。斜坡之间不会有空白，山也不会下降到x轴以下。要解决的问题是：给定n（定义景观的大小）和峰的数量k（k始终小于或等于n），那么有k个峰的山峰有多少种组合？

输入项

n代表景观的宽度，k代表峰的数量。

输出量

仅可能的组合数量。

例

给定n = 3和k = 2，答案是3个组合。

仅举一个直观的例子，它们是：

   /\     /\      /\/\
/\/  \   /  \/\  /    \

是使用6（3 * 2）个位置和2个峰的3种组合。

编辑：-更多示例-

n  k  result
2  1  1
4  1  1
4  3  6
5  2  10

获奖条件

标准代码高尔夫球规则适用。以字节为单位的最短提交获胜。

code-golf combinatorics recursion

— 组合D
source

4

这与“找到n精确包含” k实例的匹配括号对的表达式数相同()吗？

— xnor

4

https://oeis.org/A001263？

— xnor

@xnor是的。

— 乔纳森·艾伦

4

您可能需要使用更明确的标题（例如Compute Narayana Numbers）来更新挑战。

— 阿纳尔德

您可以确认是否k必须处理输入为零的信息吗？如果是这样，是否必须处理n等于零的输入（k根据定义也为零）？

— 乔纳森·艾伦

7

Python，40个字节

f=lambda n,k:k<2or~-n*n*f(n-1,k-1)/~-k/k

在线尝试！

使用重复 $a_{n,1} = 1$ ， $a_{n,k} = \frac{n(n-1)}{k(k-1)}a_{n-1,k-1}$ 。

— 安德斯·卡塞格（Anders Kaseorg）
source

6

果冻，7个字节

cⱮṫ-P÷⁸

在线尝试！

n然后接受输入k。使用公式

$N(n,k)=\frac{1}{n}\binom{n}{k}\binom{n}{k-1}$

我在Wikipedia上找到的。

cⱮṫ-P÷⁸
c        Binomial coefficient of n and...
 Ɱ       each of 1..k
  ṫ-     Keep the last two. ṫ is tail, - is -1.
    P    Product of the two numbers.
     ÷   Divide by
      ⁸  n.

7字节

每行都可以独立工作。

,’$c@P÷
c@€ṫ-P÷

k然后接受输入n。

7字节

cⱮ×ƝṪ÷⁸

感谢乔纳森·艾伦（Jonathan Allan）的帮助。

— Dylnan
source

等等...尾巴会自动定义为2个数字吗？（根本不了解果冻，只是一个愚蠢的问题）

— Quintec

@Quintec有两个尾部函数。一个（Ṫ）仅接受单个参数的最后一个元素，而我使用的（ṫ）仅接受一个参数的两个元素。第一个参数是一个列表，第二个参数是一个数字（在我的情况下，用代码中-1的a表示-）告诉您要保存多少个元素。有-1举两个元素是定义golfiest方式ṫ

— dylnan

知道了，谢谢！我看到果冻是如何为高尔夫打造的……

— 嘿

1

7 f（n，k）的另一个变体：cⱮ×ƝṪ÷⁸

— 乔纳森·艾伦，

4

JavaScript（ES6），33个 30字节

@Shaggy节省了3个字节

将输入作为(n)(k)。

n=>g=k=>--k?n*--n/-~k/k*g(k):1

在线尝试！

实现Anders Kaseorg使用的递归定义。

JavaScript（ES7），59 58 49 45字节

将输入作为(n)(k)。

n=>k=>k/n/(n-k+1)*(g=_=>k?n--/k--*g():1)()**2

在线尝试！

计算：

a_{n, k} = \frac{1}{k} (\binom{n - 1}{k - 1}) (\binom{n}{k - 1}) = \frac{1}{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n}{k - 1}) = \frac{1}{n} {(\binom{n}{k})}^{2} \times \frac{k}{n - k + 1}

$a_{n,k}=\frac{1}{k}\binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k-1}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}\binom{n}{k-1}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}^2\times\frac{k}{n-k+1}$

源自A001263（第一个公式）。

— Arnauld
source

-3个字节，带有currying。

— 毛茸茸的

@Shaggy Doh ...谢谢。修订＃7最终看起来应该像修订＃1一样。：p

— Arnauld

3

Wolfram语言（Mathematica），27个字节

长度相同的三个版本：

(b=Binomial)@##b[#,#2-1]/#&

Binomial@##^2#2/(#-#2+1)/#&

1/(Beta[#2,d=#-#2+1]^2d##)&

在线尝试！（只是第一个版本，但是您可以复制并粘贴以尝试其他版本。）

所有这些都是某种变体

\frac{n! (n - 1)!}{k! (k - 1个 ） ！ （ ñ - ķ ） ！ （ ñ - ķ - 1个 ） ！}

$\frac{n!(n-1)!}{k!(k-1)!(n-k)!(n-k-1)!}$ 这就是一直存在的公式。我希望可以使用Beta函数，这是一种二项式倒数，但随后发生了太多的除法运算。

— 米莎·拉夫罗夫（Misha Lavrov）
source

2

J，17 11字节

]%~!*<:@[!]

在线尝试！

注意到n作为右边的参数，k作为左之一。使用与dylnan的Jelly答案和Quintec的APL解决方案相同的公式。

说明：

            ] - n  
           !  - choose
       <:@[   - k-1
      *       - multiplied by
     !        - n choose k
   %~         - divided by
  ]           - n

— 加伦·伊万诺夫（Galen Ivanov）
source

2

APL（Dyalog），19 18 16 12字节

⊢÷⍨!×⊢!⍨¯1+⊣

感谢@Galen Ivanov提供-4个字节

使用OEIS序列中的身份。在左侧取k，在右侧取n。

蒂奥

— 金泰克
source

⊢÷⍨!×⊢!⍨¯1+⊣为12个字节，参数颠倒

— 盖伦诺夫

@GalenIvanov谢谢，我的默认APL非常弱

— Quintec '18

我的APL不好，我只是在J解决方案之后借此机会尝试一下：)

— Galen Ivanov

1

Ruby，50个字节

->l,n{eval [[*n..l]*2*?*,l,n,[*1..l-=n]*2,l+1]*?/}

在线尝试！

— 国标
source

1

普通Lisp，76个字节

(defun x(n k)(cond((= k 1)1)(t(*(/(* n(1- n))(* k(1- k)))(x(1- n)(1- k))))))

在线尝试！

— 罗恩
source

您可以通过删除\和x之后的空格来节省2个字节

— Galen Ivanov '18

1

刚刚更新感谢

— JRowan '18

建议(*(1- x)x)不要使用(* x(1- x))

— ceilingcat '18 -10-18

1

Perl 6、33字节

{[*] ($^n-$^k X/(2..$k X-^2))X+1}

在线尝试！

使用公式

{一个}_{ñ ， ķ} = （ \binom{ñ - 1个}{ķ - 1个} ） \times \frac{1个}{ķ} （ \binom{ñ}{ķ - 1个} ） = \prod_{一世 = 1个}^{ķ - 1个} （ \frac{ñ - ķ}{一世} + 1个 ） \times \prod_{一世 = 2}^{ķ} （ \frac{ñ - ķ}{一世} + 1个 ）

$a_{n,k}=\binom{n-1}{k-1}\times\frac{1}{k}\binom{n}{k-1}=\prod_{i=1}^{k-1}(\frac{n-k}{i}+1)\times\prod_{i=2}^{k}(\frac{n-k}{i}+1)$

说明

{[*]                            }  # Product of
     ($^n-$^k X/                   # n-k divided by
                (2..$k X-^2))      # numbers in ranges [1,k-1], [2,k]
                             X+1   # plus one.

替代版本，39字节

{combinations(|@_)²/(1+[-] @_)/[/] @_}

在线尝试！

使用来自Arnauld答案的公式：

{一个}_{ñ ， ķ} = \frac{1个}{ñ} {（ \binom{ñ}{ķ} ）}^{2} \times \frac{ķ}{ñ - ķ + 1个}

$a_{n,k}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}^2\times\frac{k}{n-k+1}$

— 恩韦恩霍夫
source

0

果冻，8 字节

,’$c’}P:

n在左侧和k右侧接受的二元链接产生计数。

在线尝试！

— 乔纳森·艾伦
source

0

Stax，9 个字节

ÇäO╪∙╜5‼O

运行并调试

我在stax中使用dylnan的公式。

解压，解压和注释程序看起来像这样。

        program begins with `n` and `k` on input stack
{       begin block for mapping
  [     duplicate 2nd element from top of stack (duplicates n)
  |C    combinatorial choose operation
m       map block over array, input k is implicitly converted to [1..k]
O       push integer one *underneath* mapped array
E       explode array onto stack
*       multiply top two elements - if array had only element, then the pushed one is used
,/      pop `n` from input stack and divide

运行这个

— 递归的
source

0

APL（NARS），17个字符，34个字节

{⍺÷⍨(⍵!⍺)×⍺!⍨⍵-1}

测试：

  f←{⍺÷⍨(⍵!⍺)×⍺!⍨⍵-1}
  (2 f 1)(4 f 1)(4 f 3)(5 f 2)    
1 1 6 10

— 罗斯鲁普
source

可能有不同的组合

Python，40个字节

果冻，7个字节

JavaScript（ES6），33个 30字节

JavaScript（ES7），59 58 49 45字节

Wolfram语言（Mathematica），27个字节

J，17 11字节

说明：

APL（Dyalog），19 18 16 12字节

Ruby，50个字节

普通Lisp，76个字节

Perl 6、33字节

说明

替代版本，39字节

果冻，8 字节

Stax，9 个字节

APL（NARS），17个字符，34个字节