这是通常类型的序列问题，适用于OEIS序列A038666。也就是说，请执行以下任一操作：

• 接受否或任何输入，并输出A038666，直到宇宙热死为止。
• 接受一个正整数作为输入，并输出$n$ A038666或其第一的第术语$n$条款。（如果使用$0$而不是$1$索引，则当然也必须1在0输入时输出。）

该$n$ A038666的任期个矩形是其中最小的区域包含大小的非重叠广场$1\times1,2\times2,\dots n\times n$如果你使用$1$ -indexing。

例：

可以包含大小为$1\times1$到$4\times4$非重叠正方形的最小面积矩形的尺寸为$7\times5$：

4 4 4 4 3 3 3
4 4 4 4 3 3 3
4 4 4 4 3 3 3
4 4 4 4 2 2 1
x x x x 2 2 x

因此，$a(4)=7\times5=35$（$1$索引）。

类似地，包含大小为$1\times1$到$17\times17$ 非重叠正方形的最小面积矩形的尺寸为$39\times46$，因此$a(17)=39\times46=1794$（$1$索引）。

JavaScript（ES6），172个字节

@JonathanAllan建议的速度较慢但版本较短的建议（在原始答案中还节省了4个字节）：

f=(n,A,S=(n,c)=>n>=0?c(n)||S(n-1,c):0)=>S(A,w=>(F=(l,n)=>n?S(w-n,x=>S(A/w-n,y=>l.some(([X,Y,W])=>X<x+n&X+W>x&Y<y+n&Y+W>y)?0:F([...l,[x,y,n]],n-1))):A%w<1)([],n))?A:f(n,-~A)

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原来的答案， 209个183 178  174字节

返回序列的^第$N$^个项，以1为索引。

f=(n,A,S=(n,c)=>n>=0?c(n)||S(n-1,c):0)=>S(A,w=>A%w?0:(F=(l,n)=>n?S(w-n,x=>S(A/w-n,y=>l.some(([X,Y,W])=>X<x+n&X+W>x&Y<y+n&Y+W>y)?0:F([...l,[x,y,n]],n-1))):1)([],n))?A:f(n,-~A)

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已评论

辅助功能

我们首先定义一个辅助函数$S$，该函数调用n到0（包括两者）的回调函数$c$，并在调用返回真实值时立即停止。$n$$0$

S = (n, c) =>               // n = integer, c = callback function
  n >= 0 ?                  // if n is greater than or equal to 0:
    c(n) ||                 //   invoke c with n; stop if it's truthy
    S(n - 1, c)             //   or go on with n - 1 if it's falsy
  :                         // else:
    0                       //   stop recursion and return 0

主功能

我们从$A=1$开始。

$(w,h)$$w\times h = A$$1\times1$$n\times n$

我们通过其位置跟踪正方形列表$(X,Y)$$W$$l[\text{ }]$

$A$$A+1$。

f = ( n,                    // n = input
      A ) =>                // A = candidate area (initially undefined)
S(A, w =>                   // for w = A to w = 0:
  A % w ?                   //   if w is not a divisor of A:
    0                       //     do nothing
  : (                       //   else:
    F = (l, n) =>           //     F = recursive function taking a list l[] and a size n
      n ?                   //       if n is not equal to 0:
        S(w - n, x =>       //         for x = w - n to x = 0
          S(A / w - n, y => //           for y = A / w - n to y = 0:
            l.some(         //             for each square in l[]
            ([X, Y, W]) =>  //             located at (X, Y) and of width W:
              X < x + n &   //               test whether this square is overlapping
              X + W > x &   //               with the new square of width n that we're
              Y < y + n &   //               trying to insert at (x, y)
              Y + W > y     //
            ) ?             //             if some existing square does overlap:
              0             //               abort
            :               //             else:
              F([ ...l,     //               recursive call to F:
                  [x, y, n] //                 append the new square to l[]
                ],          //
                n - 1       //                 and decrement n
              )             //               end of recursive call
          )                 //           end of iteration over y
        )                   //         end of iteration over x
      :                     //       else (n = 0):
        1                   //         success: stop recursion and return 1
    )([], n)                //     initial call to F with an empty list of squares
) ?                         // end of iteration over w; if it was successful:
  A                         //   return A
:                           // else:
  f(n, -~A)                 //   try again with A + 1

Python 2（PyPy），250 236字节

-14个字节感谢msh210的建议。

输出序列的第一个索引的第n个项。

n=input()
r=range
k=n*-~n*(n-~n)/6
m=k*k
for Q in r(m):
 P={0}
 for X in r(n,0,-1):P|=([x for x in[{(x+a,y+b)for a in r(X)for b in r(X)}for x in r(Q%k-X+1)for y in r(Q/k-X+1)]if not x&P]+[{0}])[0]
 if len(P)>k:m=min(Q%k*(Q/k),m)
print m

在线尝试！对于n> 4，这会花费很多时间。我已经在本地验证了高达n = 7的结果。