介绍

在数论中，我们说一个数为$k$光滑的数，当它的主要因子最多为$k$。例如，2940是7-平滑因为$2940=2^2\cdot3\cdot5\cdot7^2$。

在这里，我们将$k$平滑对定义为两个都是$k$平滑的连续整数。7光滑对一个例子将是$(4374,4375)$，因为$4374=2\cdot3^7$和$4375=5^4\cdot7$。有趣的事实：这实际上是最大的7平滑对。

斯托默（Størmer）在1897年证明，对于每$k$，只有有限的$k$平滑对，并且这一事实被称为斯托默定理。

挑战

您的任务是编写一个程序或函数，给定素数输入$k$，以您想要的任何顺序输出或返回所有$k$平滑对，而没有重复（对内的顺序无关紧要）。

请注意，对于质数$p$和$q$，假设$p<q$，则所有$p$平滑对也是$q$平滑对。

样品I / O

Input: 2
Output: (1, 2)

Input: 3
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (8, 9)

Input: 5
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (8, 9), (9, 10), (15, 16), (24, 25), (80, 81)

Input: 7
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10), (14, 15),
        (15, 16), (20, 21), (24, 25), (27, 28), (35, 36), (48, 49), (49, 50), (63, 64),
        (80, 81), (125, 126), (224, 225), (2400, 2401), (4374, 4375)

限制

理论上，对于所有输入，程序或功能都应在有限的时间内终止。默认情况下，不允许出现标准漏洞。

获奖标准

由于这是代码高尔夫球挑战，因此每种语言的最短有效提交将获胜。

JavaScript（ES7）， 234  232字节

通过求解形式为$x^2-2qy^2=1$ Pell方程来找到解，其中$q$是$P$光滑平方自由数。

这是德里克·亨利·莱默（Derrick Henry Lehmer）的程序的一种实现，该程序是从斯托默（Størmer）的原始程序派生而来的。

返回一个对象，其键和值描述$P$平滑对。

P=>[...Array(P**P)].map((_,n)=>(s=(n,i=0,k=2)=>k>P?n<2:n%k?s(n,i,k+1):s(n/k,i,k+i))(n,1)&&(_=>{for(x=1;(y=((++x*x-1)/n)**.5)%1;);(h=(x,y)=>k--&&h(X*x+n*Y*y,X*y+Y*x,x&s(x=~-x/2)&s(x+1)?r[x]=x+1:0))(X=x,Y=y,k=P<5?3:-~P/2)})(),r={})&&r

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怎么样？

辅助函数$s$在给定整数$n$调用i = 0时测试给定整数n是$P$光滑数，还是在i = 1调用给定整数n是自由平方的¹ P光滑数。$i=0$ $P$$i=1$

s = (
  n,
  i = 0,
  k = 2
) =>
  k > P ?
    n < 2
  :
    n % k ?
      s(n, i, k + 1)
    :
      s(n / k, i, k + i)

我们期待所有无平方^1个 $P$平滑肌号码$[1..P^P-1]$，其中$P^P$用作上限为$P!$。

P=>[...Array(P ** P)].map((_, n) => s(n, 1) && (...))

对于上面找到的每个$n$，我们寻找Pell方程$x^2-ny^2=1$的基本解：

(_ => {
  for(x = 1; (y = ((++x * x - 1) / n) ** .5) % 1;);
  ...
})()

（以上代码是我对其他挑战的回答的非递归版本）

$(x_1,y_1)$$(x_k,y_k)$$k\le max(3,(P+1)/2)$

$x_k$$x_k$$(x_k-1)/2$$(x_k+1)/2$$P$$r$

( h = (x, y) =>
  k-- &&
  h(
    X * x + n * Y * y,
    X * y + Y * x,
    x &
    s(x = ~-x / 2) &
    s(x + 1) ?
      r[x] = x + 1
    :
      0
  )
)(X = x, Y = y, k = P < 5 ? 3 : -~P / 2)

^$s$$i=1$

果冻，16 14字节

4*ÆfṀ<ɗƇ‘rƝLÐṂ

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$4^k$$k$

感谢@JonathanAllan节省了1个字节！

说明

4*ÆfṀ<ɗƇ‘rƝLÐṂ  | Monadic link, input k

4*              | 4**k, call this n
      ɗƇ        | For each number from 1..n filter those where:
  Æf            |   - Prime factors
    Ṁ           |   - Maximum
     <  ‘       |   - Less than k+1
         rƝ     | Inclusive range between neighbouring values
           LÐṂ  | Keep only those of minimum length (i.e. adjacent values)

05AB1E，8个字节

°Lü‚ʒfà@

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说明：

°            # 10 ** the input
 Lü‚         # list of pairs up to that number
    ʒ        # filtered by...
     fà      # the greatest prime factor (of either element of the pair)...
       @     # is <= the input

果冻，123字节

¹©Æ½Ø.;µU×_ƭ/;²®_$÷2ị$}ʋ¥⁸;+®Æ½W¤:/$$µƬṪ€F¹;Ḋ$LḂ$?ṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ịWµ1ịżU×®W¤Ɗ$æ.0ị$ṭµ³’H»3¤¡
ÆRŒPP€ḟ2ḤÇ€ẎḢ€+€Ø-HÆfṀ€<ẠʋƇ‘

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$2×$$\max(3, \frac{k+1}{2})$$\frac{x-1}{2}, \frac{x+1}{2}$

$k$

Haskell，118107字节

-11字节归功于nimi

q 1=[1]
q n=(:)<*>q.div n$[x|x<-[2..n],mod n x==0]!!0
f k|let r=all(<=k).q=[(n,n+1)|n<-[1..4^k],r n,r(n+1)]

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• q n 计算以下所有主要因素的列表 n
• f k$k$

果冻，24字节

³!²R‘Ė
ÇÆFḢ€€€’<³FȦ$€Tị¢

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这花费了很长时间（7），但是如果您消除阶乘的平方，它的计算速度会更快：在线尝试！

说明：

³!²R‘Ė                Generates a list like [[1,2],[2,3],...]
³!²                  Take the square of the factorial of the input
   R                 Range 1 through through the above number.
    ‘Ė               Decrement and enumerate, yielding desired list


ÇÆFḢ€€€’<³FȦ$€Tị¢  
Ç                    Get the list of pairs  
 ÆF                  Get the prime factors of each number
   Ḣ€€€              Get the base of each
       ’<³           Is each base less than or equal to the input?
          FȦ$€       Check that all bases of a pair fit the above.
              T      Get a list of the truthy indexes
               ị¢    Index into the original list of pairs
                     Implicit output

-3个字节，感谢@JonathanAllen

Python 3 + sympy，116个字节

import sympy
def f(k):x=[i for i in range(2,4**k)if max(sympy.factorint(i))<=k];return[(y,y+1)for y in x if y+1in x]

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Python 3 + sympy，111个字节

from sympy import*
def f(k):
 b=1
 for i in range(2,4**k):
  x=max(factorint(i))<=k
  if x&b:print(i-1,i)
  b=x

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在Jelly答案上有两个变体，但在Python 3中。它们都定义了一个接受参数的函数k。第一个返回符合条件的对的元组列表。第二个将它们打印到标准输出。

Wolfram语言（Mathematica），241个字节

使用佩尔方程

(s=#;v@a_:=Max[#&@@@#&/@FactorInteger@a]<=s;Select[{#-1,#+1}/2&/@(t={};k=y=1;While[k<=Max[3,(s+1)/2],If[IntegerQ[x=Sqrt[1+2y^2#]],t~AppendTo~x;k++];y++];t),v@#&]&/@Join[{1},Select[Range[3,Times@@Prime@Range@PrimePi@s],SquareFreeQ@#&&v@#&]])&

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Pyth，15个字节

f!>#QsPMTCtBS^4

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使用Nick Kennedy的观察，即输出数不会大于4^k。

05AB1E，16 个字节

°LʒfàI>‹}Xšü‚ʒ¥`

$n\gt3$

说明：

°                # Take 10 to the power of the (implicit) input
 L               # Create a list in the range [1, 10^input]
  ʒ              # Filter this list by:
   fà            #  Get the maximum prime factor
     I>‹         #  And check if it's smaller than or equal to the input
        }Xš      # After the filter: prepend 1 again
           ü‚    # Create pairs
             ʒ   # And filter these pairs by:
              ¥` #  Where the forward difference / delta is 1

Stax，14 个字节

Θ",²aÇu,á‼⌐çLB

运行并调试

这不是最短的程序，但是一旦找到匹配对，它就会开始产生输出。它最终会终止，但是会根据发现产生输出。

红宝石，89 + 8 = 97字节

-rprime$i$$4^n$[i, i+1]$n$falsefalse

->n{g=->x{x.prime_division.all?{|b,_|b<=n}};(1..4**n).map{|i|g[i]&&g[i+1]&&[i,i+1]}-[!1]}

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