24

给定一对撞球在撞击前的二维位置和速度，计算出完全弹性碰撞后的速度。假定这些球是具有相同半径，相同质量，均匀密度且无摩擦的理想球体（或等效地：圆形）。

输入由8个数字：p0x,p0y,v0x,v0y,p1x,p1y,v1x,v1y其中p0x,p0y是所述第一球，中心v0x,v0y其速度，并且类似地p1x,p1y,v1x,v1y，第二球。可以接受以任何顺序输入，并且在任何方便的方式结构化，例如，作为一个2x2x2的阵列，或者一个2×2阵列p和两个长度为2的数组为v0和v1。也可以使用复数（如果您的语言支持）而不是xy对。但是，您不应在非直角坐标系的坐标系中进行输入，即不允许使用极坐标。

请注意，撞球的半径是p0x,p0y和之间的距离的一半p1x,p1y，因此并未将其作为输入的明确部分给出。

编写一个程序或函数，以任何方便的笛卡尔表示形式输出或返回4个数字：的碰撞后值v0x,v0y,v1x,v1y。

可能的算法是：

找到穿过两个中心的法线
找到穿过两个中心之间的中点并垂直于法线的切线
改变坐标系和分解v0x,v0y，并v1x,v1y纳入其切线和正常组件v0t,v0n和v1t,v1n
交换的正常组成部分v0和v1，维护他们的切向分量
改回原始坐标系

测试（结果四舍五入到小数点后五位）：

   p0x   p0y   v0x   v0y   p1x   p1y   v1x   v1y ->      v0x'       v0y'       v1x'       v1y'
[-34.5,-81.8, 34.7,-76.1, 96.2,-25.2, 59.2,-93.3] [  49.05873, -69.88191,  44.84127, -99.51809]
[ 36.9, 77.7,-13.6,-80.8, -7.4, 34.4, 15.1,-71.8] [   5.57641, -62.05647,  -4.07641, -90.54353]
[-51.0, 17.6, 46.1,-80.1, 68.6, 54.0,-35.1,-73.9] [ -26.48927,-102.19239,  37.48927, -51.80761]
[-21.1,-52.6,-77.7, 91.5, 46.0, 94.1, 83.8, 93.7] [ -48.92598, 154.40834,  55.02598,  30.79166]
[ 91.3, -5.3, 72.6, 89.0, 97.8, 50.5, 36.2, 85.7] [  71.73343,  81.56080,  37.06657,  93.13920]
[-79.9, 54.9, 92.5,-40.7,-20.8,-46.9,-16.4, -0.9] [  47.76727,  36.35232,  28.33273, -77.95232]
[ 29.1, 80.7, 76.9,-85.1,-29.3,-49.5,-29.0,-13.0] [  86.08581, -64.62067, -38.18581, -33.47933]
[ 97.7,-89.0, 72.5, 12.4, 77.8,-88.2, 31.5,-34.0] [  33.42847,  13.97071,  70.57153, -35.57071]
[-22.2, 22.6,-61.3, 87.1, 67.0, 57.6,-15.3,-23.1] [ -58.90816,  88.03850, -17.69184, -24.03850]
[-95.4, 15.0,  5.3, 39.5,-54.7,-28.5, -0.7,  0.8] [  21.80656,  21.85786, -17.20656,  18.44214]
[ 84.0,-26.8,-98.6,-85.6,-90.1, 30.9,-48.1, 37.2] [ -89.76828, -88.52700, -56.93172,  40.12700]
[ 57.8, 90.4, 53.2,-74.1, 76.4,-94.4,-68.1,-69.3] [  51.50525, -57.26181, -66.40525, -86.13819]
[ 92.9, 69.8,-31.3, 72.6,-49.1,-78.8,-62.3,-81.6] [-123.11680, -23.48435,  29.51680,  14.48435]
[-10.3,-84.5,-93.5,-95.6, 35.0, 22.6, 44.8, 75.5] [ -11.12485,  99.15449, -37.57515,-119.25449]
[ -3.9, 55.8,-83.3,  9.1, -2.7,-95.6, 37.7,-47.8] [ -82.84144, -48.75541,  37.24144,  10.05541]
[-76.5,-88.4,-76.7,-49.9, 84.5, 38.0,  4.2, 18.4] [   6.52461,  15.43907, -79.02461, -46.93907]
[ 64.2,-19.3, 67.2, 45.4,-27.1,-28.7, 64.7, -4.3] [  59.66292,  44.62400,  72.23708,  -3.52400]
[  9.8, 70.7,-66.2, 63.0,-58.7, 59.5, 83.7,-10.6] [  68.07646,  84.95469, -50.57646, -32.55469]
[ 62.9, 46.4, 85.0, 87.4, 36.3,-29.0,-63.0,-56.3] [  23.53487, -86.82822,  -1.53487, 117.92822]
[ -5.5, 35.6, 17.6,-54.3, -2.2, 66.8,-15.2, 11.8] [  24.15112,   7.63786, -21.75112, -50.13786]

最短的胜利。没有漏洞。

感谢@Anush 帮助修复图表的背景色

— ngn
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16

Python 3中，67 66个字节，53个字节

def f(p,v,q,w):p-=q;d=((v-w)/p).real*p;return v-d,w+d

在线尝试！

-1个字节感谢@ngn

-13字节感谢@Neil

此函数f将四个复数作为输入并返回两个复数。非高尔夫版本如下所示。

不打高尔夫球

def elastic_collision_complex(p1, v1, p2, v2):
    p12 = p1 - p2
    d = ((v1 - v2) / p12).real * p12
    return v1 - d, v2 + d

在线尝试！

计算公式是基于Wiki上的2D矢量公式得出的。由于 $m_1=m_2$ ，公式可以被简化为

{\begin{cases} v_{1个}^{'} = v_{1个} - d v \\ v_{2}^{'} = v_{2} + d v \end{cases}

$\left\{\begin{array}{l} v_1'=v_1-dv \\ v_2'=v_2+dv\end{array}\right.$

令 $x_{12}=x_1-x_2$ 且 $v_{12}=v_1-v_2$ ，我们有

d v = \frac{⟨ v_{12} ， X_{12} ⟩}{‖ X_{12} ‖^{2}} X_{12} = \frac{[R Ë （ v_{12} \cdot \bar{X_{12}} ）}{X_{12} \cdot \bar{X_{12}}} X_{12} = [R Ë （ \frac{v_{12} \cdot \bar{X_{12}}}{X_{12} \cdot \bar{X_{12}}} ） X_{12} = [R Ë （ \frac{v_{12}}{X_{12}} ） X_{12}

$dv=\frac{\langle v_{12}, x_{12}\rangle}{\|x_{12}\|^2}x_{12} = \frac{Re(v_{12}\cdot\overline{x_{12}})}{x_{12}\cdot \overline{x_{12}}}x_{12}=Re\left(\frac{v_{12}\cdot\overline{x_{12}}}{x_{12}\cdot \overline{x_{12}}}\right)x_{12}=Re\left(\frac{v_{12}}{x_{12}}\right)x_{12}$

在ungolfed程序，p12，v1 - v2，d对应于 $x_{12}$ ， $y_{12}$ ，和 $dv$ ，分别。

— 乔尔
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1

做得好！这种方法看起来与Ramillies的perl6答案不同，后者也使用复数。您可以保存一个字节，如果您将其替换r=p-q为p-=q并进一步p代替使用r，例如Neil的js答案

— ngn

1

@ngn，它看起来有所不同，但相同，正如Joel正确指出的那样。我以对Perl 6打高尔夫球有用的形式编写了公式，而Joel大概使用了对Python更好的公式。无论如何，我不认为其他人会想出一个独立使用复数的解决方案。做得好！

— Ramillies

3

很好，但是如果您在问题中使用该算法，则只需53个字节...

— Neil

1

@Neil感谢您的提示。现在大大简化了计算。

— 乔尔

3

我真的很喜欢您所有的出色解决方案和详细说明！

— xnor

11

JavaScript（Node.js），90 88字节

(m,n,o,p,q,r,s,t,u=(q-=m)*q+(r-=n)*r,v=o*q+p*r-s*q-t*r)=>[o-(q*=v/u),p-(v*=r/u),s+q,t+v]

在线尝试！链接包括测试套件。说明：q,r用作中心之间的差矢量，并且u是其长度的平方。v在的点积的差异o,p和s,t用q,r，因此v/u是缩放因子用于q,r给出速度的从转移量o,p来s,t。编辑：由于@Arnauld，节省了2个字节。

— 尼尔
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我没想到有人会这么快，做得好简化算法！这是您的解决方案的可视化（经过Arnauld的改进）

— ngn

@ngn错误的链接？

— 尼尔

@Neil gitlab的管道日志说应该在那儿。Ctrl + F5？箭头控制红球。转变加速。经过Firefox和铬测试。警告：声音。

— ngn

@ngn啊，现在工作，谢谢！（我以前有404。此外，我使用的是专用标签，因此默认情况下我没有声音，尽管我没有发现它具有干扰性。而且我对Asteroids毫无用处，否则我会要求“拍摄“键...）

— 尼尔，

8

Perl 6，75 64 63 61个字节

通过从切换map到节省了11个字节for，省去了将其放入中间变量以供map查看的麻烦。

更改($^a-$^c)².&{$_/abs}为保存1个字节($^a-$^c).&{$_/.conj}。

@nwellnhof节省了2个字节。

{(.($^b+$^d,{$_/.conj}($^a-$^c)*($b-$d).conj)/2 for *-*,*+*)}

在线尝试！

说明

当原始帖子说输入可能是复数时，就很难抗拒...因此，这需要4个复数（位置1，速度1，位置2，速度2）并将速度作为复数返回。

$d = p_1 - p_0$

$v_0/d$ $v_1/d$ $d$

\begin{aligned} v_{0}^{'} & = d （ ℜ \frac{v_{1个}}{d} + 一世 ℑ \frac{v_{0}}{d} ） ， \\ v_{1个}^{'} & = d （ ℜ \frac{v_{0}}{d} + 一世 ℑ \frac{v_{1个}}{d} ） \end{aligned}

$\begin{align*} v_0' &= d \left( \Re \frac{v_1}{d} + \mathrm{i} \Im \frac{v_0}{d} \right), \\ v_1' &= d \left( \Re \frac{v_0}{d} + \mathrm{i} \Im \frac{v_1}{d} \right) \end{align*}$

ℜ

$\Re$

ℑ

$\Im$

⋆

$\star$

v_{0}^{'} = d （ ℜ \frac{v_{1个}}{d} + 一世 ℑ \frac{v_{0}}{d} ） = d [\frac{1个}{2} （ \frac{v_{1个}}{d} + \frac{v_{1个}^{⋆}}{d^{⋆}} ） + \frac{1个}{2} （ \frac{v_{0}}{d} - \frac{v_{0}^{⋆}}{d^{⋆}} ）] = = \frac{d}{2} （ \frac{v_{0} + v_{1个}}{d} - \frac{v_{0}^{⋆} - v_{1个}^{⋆}}{d^{⋆}} ） = \frac{1个}{2} （ v_{0} + v_{1个} - \frac{d}{d^{⋆}} （ v_{0}^{⋆} - v_{1个}^{⋆} ） ） 。

$v_0' = d \left( \Re \frac{v_1}{d} + \mathrm{i} \Im \frac{v_0}{d} \right) = d \left[ \frac 1 2 \left( \frac{v_1}{d} + \frac{v_1^\star}{d^\star} \right) + \frac 1 2 \left( \frac{v_0}{d} - \frac{v_0^\star}{d^\star} \right) \right] =\ = \frac d 2 \left( \frac{v_0 + v_1}{d} - \frac{v_0^\star - v_1^\star}{d^\star} \right) = \frac 1 2 \left( v_0 + v_1 - \frac{d}{d^\star} (v_0^\star - v_1^\star) \right).$

v_{1}^{'}

$v_1'$

v_{0} \leftrightarrow v_{1}

$v_0 \leftrightarrow v_1$

v_{1个}^{'} = \frac{1个}{2} [v_{0} + v_{1个} + \frac{d}{d^{⋆}} （ v_{0}^{⋆} - v_{1个}^{⋆} ）] 。

$v_1' = \frac 1 2 \left[ v_0 + v_1 + \frac{d}{d^\star} \left(v_0^\star - v_1^\star\right) \right].$

就是这样。该程序所做的只是该计算，有些打高尔夫球。

— 拉米利斯
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很酷！

— ngn

我对Perl不太了解，但是我认为您可以将两个共轭计算合并为一个以节省一些字节。

— 乔尔

1

@Joel-可悲的是，我敢肯定我不会。第一个共轭作用于($^a-$^c)（并且仅在标准化该数字的lambda内部）作用，第二个共轭作用于($b-$d)。因此，他们根本无法和解。我可以制作一个只会调用的函数.conj，但是只会增加字节（因为我大量使用了该$_变量，该变量具有不错的属性，您可以在不指定该变量的情况下调用方法：.conj而不是$_.conj）。

— Ramillies

@Ramillies感谢您的解释。

— 乔尔

δ的大小如何相关？您只需将其除以δ，切换实分量，然后再次乘以δ。

— 尼尔

3

果冻，16字节

_/×ḋ÷²S¥_/ʋ¥N,$+

在线尝试！

双向链接，以初始位置列表作为左变量[[p0x, p0y], [p1x, p1y]]，右初始速度作为右变量[[v0x, v0y], [v1x, v2y]]。返回最终速度的列表[[v0x', v0y'], [v1x', v2y']]

基于@Neil JavaScript答案使用的算法，因此请确保也支持该算法！

— 尼克·肯尼迪
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3

C（GCC），140个 132字节

f(m,n,o,p,q,r,s,t,a)float*a,m,n,o,p,q,r,s,t;{q-=m;r-=n;m=q*q+r*r,n=o*q+p*r-s*q-t*r;q*=n/m;*a++=o-q;n*=r/m;*a++=p-n;*a++=s+q;*a=t+n;}

在线尝试！

基本上是@Neil的JavaScript答案的端口，但是@ceilingcat通过巧妙地重用m和n存储临时对象而减少了8个字节。

— 斯利彭
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2

Python 2中，97 92个字节

m,n,o,p,q,r,s,t=input()
q-=m
r-=n
a=o*q+p*r-s*q-t*r
a/=q*q+r*r
print o-a*q,p-a*r,s+a*q,t+a*r

在线尝试！

尼尔方法的修改版。

— 暴民埃里克
source

1

C（gcc），77 72字节

f(p,v,q,w,a)_Complex*a,p,v,q,w;{p-=q;p*=creal((v-w)/p);*a=v-p;a[1]=w+p;}

在线尝试！

基于@Joel的python实现

— 吊顶猫
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0

APL（Dyalog Classic），21字节

⊢/-{,∘-⍨×/(9○÷⍨)\-⌿⍵}

在线尝试！

基于@Joel的答案

输入：2x2复数矩阵，输出：复数对

— ngn
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撞球撞

Python 3中，67 66个字节，53个字节

不打高尔夫球

JavaScript（Node.js），90 88字节

Perl 6，75 64 63 61个字节

说明

果冻，16字节

C（GCC） ，140个 132字节

Python 2中，97 92个字节

C（gcc），77 72字节

APL（Dyalog Classic），21字节

C（GCC），140个 132字节