什么是超自由基

的ultraradical，或把基团，一个实数的被定义为五次方程的唯一实根。$a$$x^5+x+a=0$

在这里，我们使用表示超自由基功能。例如，因为。$UR(\cdot)$$UR(-100010)=10$$10^5+10-100010=0$

挑战

编写一个完整的程序或函数，将一个实数作为输入，然后返回或输出其超基数。

要求

不允许有任何标准漏洞。下面的测试用例的结果必须精确到至少6位有效数字，但通常程序应为任何有效的实数输入计算相应的值。

测试用例

提供9个小数点后四舍五入以供参考。添加了一些测试用例的说明。

 a                         | UR(a)
---------------------------+---------------------
             0             |   0.000 000 000        # 0
             1             |  -0.754 877 (666)      # UR(a) < 0 when a > 0
            -1             |   0.754 877 (666)      # UR(a) > 0 when a < 0
             1.414 213 562 |  -0.881 616 (566)      # UR(sqrt(2))
            -2.718 281 828 |   1.100 93(2 665)      # UR(-e)
             3.141 592 653 |  -1.147 96(5 385)      # UR(pi)
            -9.515 716 566 |   1.515 71(6 566)      # 5th root of 8, fractional parts should match
            10             |  -1.533 01(2 798)
          -100             |   2.499 20(3 570)
         1 000             |  -3.977 89(9 393)
      -100 010             |  10.000 0(00 000)      # a = (-10)^5 + (-10)
 1 073 741 888             | -64.000 0(00 000)      # a = 64^5 + 64

获奖标准

每种语言中最短的有效提交时间将获胜。

Wolfram语言（Mathematica），20个字节

Root[xx^5+x+#,1]&

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仍然是内置的，但至少不是UltraRadical。

（字符显示方式类似于|->Mathematica，类似于=>JS）

Python 3.8（预发布），60字节

f=lambda n,x=0:x!=(a:=x-(x**5+x+n)/(5*x**4+1))and f(n,a)or a

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牛顿迭代法。$x' = x - \frac {f(x)} {f'(x)} = x - \frac {x^5+x+n} {5x^4+1}$

使用$\frac {4x^5-n} {5x^4+1}$在数学上等同，它使程序循环永远。

其他方法：

Python 3.8（预发布），102字节

lambda x:a(x,-x*x-1,x*x+1)
a=lambda x,l,r:r<l+1e-9and l or(m:=(l+r)/2)**5+m+x>0and a(x,l,m)or a(x,m,r)

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鉴于功能x^5+x+a正在增加，二元搜索。将边界设置-abs(x)和abs(x)足够的，但-x*x-1和x*x+1较短。

BTW Python的递归限制太低，因此必须具有1e-9，这:=称为walrus运算符。

JavaScript（ES7），44个字节

使用与以下相同的公式但具有固定的迭代次数的更安全的版本。

n=>(i=1e3,g=x=>i--?g(.8*x-n/(5*x**4+5)):x)``

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JavaScript（ES7）， 43  42字节

牛顿法，使用$5x^4+5$作为$f'(x)=5x^4+1$的近似值。

n=>(g=x=>x-(x-=(x+n/(x**4+1))/5)?g(x):x)``

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怎么样？

我们从$x_0=0$并递归计算：

直到$x_k-x_{k+1}$是微不足道的。

果冻，8字节

;17B¤ÆrḢ

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怎么运行的：

• [a, 1, 0, 0, 0, 1]通过a以的二进制表示形式构造列表17。为什么列出这个清单？因为它对应于我们正在寻找的系数：

  [a, 1, 0, 0, 0, 1] -> P(x) := a + 1*x^1 + 0*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4 + 1*x^5 = a + x + x^5
  

• 然后，Ær是一个内置的函数P(x) = 0，可以解决多项式方程式，并给出一系列系数（我们之前构造的）。

• 我们只对真正的解决方案感兴趣，因此我们使用来获得解决方案列表中的第一项Ḣ。

APL（Dyalog Unicode），11个10 字节^SBCS

-1感谢dzaima

匿名默认前缀功能。

(--*∘5)⍣¯1

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(… )⍣¯1 将以下默认函数负数一次应用：

 - 否定论点

 - 减去

 *∘5 论点提高到5的幂

本质上，这会问：我需要将哪个$x$馈给$f(x)=-x-x^5$，以便结果变为$y$。

R，43个字节

function(a)nlm(function(x)abs(x^5+x+a),a)$e

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nlm$x\mapsto |x^5+x+a|$nlma

R，56个字节

function(x)(y=polyroot(c(x,1,0,0,0,1)))[abs(Im(y))<1e-9]

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polyroot$a$polyroot

J，14个字节

{:@;@p.@,#:@17

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J有一个内置的用于求解多项式的... p.

最后的4个测试用例在TIO上超时，但是从理论上讲还是正确的。

怎么样

J的内建多项式系数被视为一个数值列表，该系数为x^0第一个。这意味着列表是：

a 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1是二进制形式的17，所以我们将其表示为#:@17，然后追加输入,，然后应用p.，然后使用raze解开结果;，然后取最后一个元素{:

红宝石，53 41字节

->a{x=a/=5;99.times{x-=a/(x**4+1)+x/5};x}

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使用具有固定迭代次数的Newton-Raphson，并且具有与Arnauld相同的逼近技巧

Pari / GP，34 32 26 24字节

a->-solve(X=0,a,a-X-X^5)

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05AB1E，12个字节

ΔyIy4m>/+5/-

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牛顿法。

K4，33 31个字节

{{y-(x+y+*/5#y)%5+5*/4#y}[x]/x}

牛顿-拉普森迭代计算，直到将一个数收敛

编辑：-2感谢ngn！

哎呀，这一切错了...

K（oK），10个字节

{-x+*/5#x}

Pari / GP，24字节

a->polrootsreal(x^5+x+a)

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C，118b / 96b

#include<math.h>
double ur(double a){double x=a,t=1;while(fabs(t)>1e-6){t=x*x*x*x;t=(x*t+x+a)/(5*t+1);x-=t;}return x;}

118个字节，具有原始功能名称，并且具有一些额外的精度（双精度）。有了一点点黑客可能会更好，但难以移植。

固定迭代的96个字节。

double ur(double a){double x=a,t;for(int k=0;k<99;k++){t=x*x*x*x;x=(4*x*t-a)/(5*t+1);}return x;}

实际上，我们的函数是如此的好，可以使用牛顿方法的更好的改编。更快，更实用的实现（150字节）将是

#include<math.h>
double ur(double a){double x=a/5,f=1,t;while(fabs(f)>1e-6){t=x*x*x*x;f=(t*(5*t*x+5*a+6*x)+a+x)/(15*t*t-10*a*x*x*x+1);x-=f;}return x;}

我检查了它的工作原理，但是我懒得找出它要快得多。至少应该比牛顿的速度快一个订单。

干净，61 60字节

import StdEnv
$a=iter 99(\x=(3.0*x^5.0-a)/inc(4.0*x^4.0))0.0

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牛顿方法，首先在user202729的答案中实现。

干净，124字节

import StdEnv
$a= ?a(~a)with@x=abs(x^5.0+x+a);?u v|u-d==u=u|v+d==v=v= ?(u+if(@u< @v)0.0d)(v-if(@u> @v)0.0d)where d=(v-u)/3E1

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“二进制”搜索，在每次迭代时将搜索区域的范围缩小到上限和下限之间的上限的99.6％，而不是50％。

Python 3 + sympy，72个字节

lambda y:float(sympy.poly("x**5+x+"+str(y)).all_roots()[0])
import sympy

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八度，25字节

@(a)fzero(@(x)x^5+x+a,-a)

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Maplesoft Maple，23个字节

f:=a->fsolve(x^5+x+a=0)

不幸的是，AFAIK没有在线Maple编译器/计算器。但是代码很简单。