下图显示了该问题：

编写一个函数，给定一个整数作为圆半径，该函数计算中心圆（包括边界）内的晶格点数。

该图显示：

f[1] = 5  (blue points)
f[2] = 13 (blue + red points)  

用于检查/调试的其他值：

f[3]    = 29
f[10]   = 317
f[1000] = 3,141,549
f[2000] = 12,566,345  

应该有合理的表现。假设f [1000]不到一分钟。

最短的代码获胜。通常使用Code-Golf规则。

请以f [1001]的计算和时序为例。

J，21 19 18

+/@,@(>:|@j./~@i:)

建立从-x-xj到x + xj的复合体并取幅值。

编辑：与 >:

编辑2：带钩子和monadic ~。由于某种原因，运行速度慢了几倍，但f（1000）仍然要慢10秒钟。

J，27 21

3 :'+/,y>:%:+/~*:i:y'

非常残酷：在[-n，n]范围内计算sqrt（x²+y²）并计数≤n的项。仍然非常可接受的时间为1000。

编辑：i:y比y-i.>:+:y。谢谢杰西·米利坎（Jesse Millikan）！

Ruby 1.9， 62 58 54个字符

f=->r{1+4*eval((0..r).map{|i|"%d"%(r*r-i*i)**0.5}*?+)}

例：

f[1001]
=> 3147833

t=Time.now;f[1001];Time.now-t
=> 0.003361411

Python 55个字符

f=lambda n:1+4*sum(int((n*n-i*i)**.5)for i in range(n))

Haskell，41个字节

f n=1+4*sum[floor$sqrt$n*n-x*x|x<-[0..n]]

计算象限中的点x>=0, y>0，乘以4，将1加到中心点。

Haskell，44个字节

f n|w<-[-n..n]=sum[1|x<-w,y<-w,x*x+y*y<=n*n]

JavaScript（ES6），80字节（非竞争，因为ES6太新了）

n=>(a=[...Array(n+n+1)].map(_=>i--,i=n)).map(x=>a.map(y=>r+=x*x+y*y<=n*n),r=0)|r

备用版本，也为80字节：

n=>[...Array(n+n+1)].map((_,x,a)=>a.map((_,y)=>r+=x*x+(y-=n)*y<=n*n,x-=n),r=0)|r

ES7版本，也是80个字节：

n=>[...Array(n+n+1)].map((_,x,a)=>a.map((_,y)=>r+=(x-n)**2+(y-n)**2<=n*n),r=0)|r

Python 2，48个字节

f=lambda n,i=0:i>n or(n*n-i*i)**.5//1*4+f(n,i+1)

类似于fR0DDY的solution，但是是递归的，并返回浮点数。返回一个int是51个字节：

f=lambda n,i=0:i>n or 4*int((n*n-i*i)**.5)+f(n,i+1)

C（gcc），60个字节

r,a;f(x){for(a=r=x*x;a--;)r-=hypot(a%x+1,a/x)>x;x=4*r+1;}

在线尝试！

在第一个象限上循环，将结果乘以4，然后加一个。少打高尔夫球

r,a;
f(x){
  for(a=r=x*x;a--;)
    r-=hypot(a%x+1,a/x)>x;
  x=4*r+1;
}

APL（Dyalog扩展），14字节

{≢⍸⍵≥|⌾⍀⍨⍵…-⍵}

在线尝试！

尽管缺少i:J的内置（从-n到n的范围），APL Extended在其他方面的语法更短。

{≢⍸⍵≥|⌾⍀⍨⍵…-⍵}            Monadic function taking an argument n.
           ⍵…-⍵             n, n-1, ..., -n
      ⌾⍀                   Make a table of complex numbers
                            (equivalent to ∘.{⍺+1J×⍵} in Dyalog APL)
         ⍨                  with both real and imaginary parts from that list.
      |                       Take their magnitudes.
    ⍵≥                        1 where a magnitude are is at most n, and 0 elsewhere.
 ⍸                           Get all indices of truthy values.
≢                            Find the length of the resulting list.

Japt -x，12个字节

òUn)ï Ëx²§U²

在线尝试！

说明：

òUn)            #Get the range [-input ... input]
    ï           #Get each pair of numbers in that range
      Ë         #For each pair:
       x        # Get the sum...
        ²       # Of the squares
         §      # Check if that sum is less than or equal to...
          U²    # The input squared
                #Output the number of pairs that passed the check

PHP，85 83字节

代码：

function f($n){for($x=$n;$x;$c+=$x,$y++)for(;$n*$n<$x*$x+$y*$y;$x--);return$c*4+1;}

结果（检查多个PHP版本的https://3v4l.org/bC0cY）：

f(1001)=3147833
time=0.000236 seconds.

未经处理的代码：

/**
 * Count all the points having x > 0, y >= 0 (a quarter of the circle)
 * then multiply by 4 and add the origin.
 *
 * Walk the lattice points in zig-zag starting at ($n,0) towards (0,$n), in the
 * neighbourhood of the circle. While outside the circle, go left.
 * Go one line up and repeat until $x == 0.
 * This way it checks about 2*$n points (i.e. its complexity is linear, O(n))
 *
 * @param int $n
 * @return int
 */
function countLatticePoints2($n)
{
    $count = 0;
    // Start on the topmost right point of the circle ($n,0), go towards the topmost point (0,$n)
    // Stop when reach it (but don't count it)
    for ($y = 0, $x = $n; $x > 0; $y ++) {
        // While outside the circle, go left;
        for (; $n * $n < $x * $x + $y * $y; $x --) {
            // Nothing here
        }
        // ($x,$y) is the rightmost lattice point on row $y that is inside the circle
        // There are exactly $x lattice points on the row $y that have x > 0
        $count += $x;
    }
    // Four quarters plus the center
    return 4 * $count + 1;
}

可以在github上找到一个检查$n*($n+1)点的天真的实现（运行速度慢了1000个，但仍然可以f(1001)在0.5秒内完成计算）和测试套件（使用问题中提供的示例数据）。

Clojure / ClojureScript，85个字符

#(apply + 1(for[m[(inc %)]x(range 1 m)y(range m):when(<=(+(* x x)(* y y))(* % %))]4))

蛮力强制第一象限，包括y轴但不包括x轴。为每个点生成一个4，然后将它们与1相加。在2秒内运行，输入1000。

滥用地狱for来定义变量并保存一些字符。进行相同的操作以为其创建别名range不会保存任何字符（并使它的运行明显变慢），并且似乎不太可能通过制作平方函数来保存任何内容。

Pyke，14字节，无竞争

QFXQX-_,B)s}}h

在这里尝试！

Mathematica，35个字符

f[n_]:=Sum[SquaresR[2,k],{k,0,n^2}]

从https://oeis.org/A000328解除

https://reference.wolfram.com/language/ref/SquaresR.html

SquaresR[2,k]是将k表示为两个平方之和的方式的数量，与半径为k ^ 2的圆上的晶格点的数量相同。从k = 0到k = n ^ 2求和，以找到半径为n的圆上或圆内的所有点。

Tcl，111个字节

lassign {1001 0 -1} r R x
while {[incr x]<$r} {set R [expr {$R+floor(sqrt($r*$r-$x*$x))}]}
puts [expr {4*$R+1}]

简单的离散x在象限I上循环，在每一步使用勾股定理计算最大y。结果是总和的4倍加1（对于中心点）。

程序的大小取决于r的值。替换为{1001 0 -1}，"$argv 0 -1"然后可以使用r的任何命令行参数值运行它。

3147833.0在约1030微秒内计算f（1001）→ ，AMD Sempron 130 2.6GHz 64位处理器，Windows 7。

_{显然，半径越大，与PI的近似值越接近：f（10000001）在大约30秒钟内运行，产生15位数字的值，大约是IEEE精度的两倍。}

萨克斯，11个字节

ä÷²M╨⌐■╝^₧░

运行并调试