给定两个正数x，并n用x<2^n写的最短的函数来计算x^-1 mod 2^n。换句话说，找到y这样x*y=1 mod 2^n。

您的功能必须至少在合理的时间内完成n=64，因此详尽的搜索将无法进行。

如果倒数不存在，则必须以某种方式向调用者指示（抛出异常，返回标记值等）。

如果您想从哪里开始，请尝试扩展欧几里得算法。

Python 95 89

c是你的职责。如果没有倒数（即x为偶数），则返回0。

p=lambda x,y,m:y and p(x,y/2,m)**2*x**(y&1)%m or 1
c=lambda x,n:[0,p(x,2**n-1,2**n)][x%2]

Python，29个字节

lambda x,n:pow(x,2**n-1,2**n)

这对于偶数x返回0 。它使用Euler定理，并观察到2 ^ n − 1可通过Python内置的快速模幂运算被2 ^（n − 1）− 1 整除。这对于n到7000左右的n来说已经足够快了，它开始花费大约一秒钟以上的时间。

Mathematica-22

f=PowerMod[#,-1,2^#2]&

f[x,n]返回y用x*y=1 mod 2^n，否则x is not invertible modulo 2^n

GolfScript（23个字符）

{:^((1${\.**2^?%}+*}:f;

不存在的逆的定点结果为0。

这是欧拉定理的简单应用。，所以 X - 1 ≡ X 2 Ñ - 1 - $x^{\varphi(2^n)} \equiv 1 \pmod {2^n}$$x^{-1} \equiv x^{2^{n-1}-1} \pmod {2^n}$

不幸的是，直接计算的指数太大了，因此我们必须使用循环并在循环内进行模块化归约。迭代步骤是，我们有基本情况的选择：要么与$x^{2^k-1} = \left(x^{2^{k-1}-1}\right)^2 \times x$k=1

{1\:^(@{\.**2^?%}+*}:f;

或k=2搭配

{:^((1${\.**2^?%}+*}:f;

我正在研究另一种方法，但是哨兵更加困难。

关键的观察是，我们可以通过建立位反了一下：如果$xy \equiv 1 \pmod{2^{k-1}}$$xy \in \{ 1, 1 + 2^{k-1} \} \pmod{2^k}$$x$$x(y + xy-1) \equiv 1 \pmod{2^k}$$y' = (x+1)y - 1$

$0x \equiv 1 \pmod {2^0}$

$x\left(\frac{1 - (x+1)^n}{x}\right) \equiv 1 \pmod {2^n}$

$x+1$

这给出了19个字符的功能

{1$)1$?@/~)2@?%}:f;

$x$x&11

{1$.1&+1$?@/~)2@?%}:f;

$0$$2^{n-1}$

$0$$1 - (x+1)^n$$1 - 1^n$

{1$.1&*)1$?@/~)2@?%}:f;

$n$n x f

{..1&*)2$?\/~)2@?%}:f;

Ruby-88个字符

使用功能f。

def e a,b;a%b==0?[0,1]:(x,y=e(b,a%b);[y,x-(y*(a/b))])end
def f x,n;e(x,2**n)[0]*(x%2)end

只是链接的Wiki页面上的递归函数在错误时返回0。

Haskell，42个字节

_!1=1
x!n|r<-x!div(n+1)2=(2-r*x)*r`mod`2^n

使用基于Hensel引理的算法，该算法在每次迭代中使数字位数加倍，从而在不到一秒的时间内运行n到大约3000 万！

Pyth，9个字节

.^Et^2Q^2

在这里尝试！

以相反的顺序输入。或者，也为9个字节：.^EtK^2QK。

说明

。^ Et ^ 2Q ^ 2-完整程序。

。^-战俘功能。在Python中也是一样（pow）。
  E-第二个输入。
    ^ 2Q-和2 ^第一个输入。
   t-减少。
       ^ 2-再输入2 ^。

GAP，39个字节

f:=function(x,n)return 1/x mod 2^n;end;

f(x,n)返回x模的倒数2^n并给出错误信息

Error, ModRat: for <r>/<s> mod <n>, <s>/gcd(<r>,<s>) and <n> must be coprime

如果不存在逆。