使用Hamming（7,4）纠正错误

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Hamming（7,4）代码可以追溯到1950年。当时，Richard Hamming在贝尔实验室担任数学家。汉明每个星期五都设置计算机进行一系列计算，并在下周一收集结果。使用奇偶校验，这些机器能够在计算过程中检测到错误。沮丧，因为他经常收到错误消息，所以汉明决定改进错误检测并发现了著名的汉明代码。

海明力学（7,4）

汉明码的目的是创建一组重叠的奇偶校验位，以便可以检测和纠正数据位或奇偶校验位中的单个错误（翻转一位）。仅当发生多个错误时，汉明码才能恢复原始数据。它可能根本不会注意到错误，甚至可能会错误地纠正它。因此，在这一挑战中，我们将仅处理单位错误。

作为汉明代码的示例，我们将看一下汉明（7,4）代码。除4位数据外，d1, d2, d3, d4它还使用3个奇偶校验位p1, p2, p3，这些奇偶校验位使用以下公式计算：

p1 = (d1 + d2 + d4) % 2
p2 = (d1 + d3 + d4) % 2
p3 = (d2 + d3 + d4) % 2

产生的代码字（数据+奇偶校验位）的格式为p1 p2 d1 p3 d2 d3 d4。

检测错误的方法如下。您重新计算奇偶校验位，并检查它们是否与接收的奇偶校验位匹配。在下表中，您可以看到，各种单一位错误都会产生奇偶校验位的不同匹配。因此，可以定位和纠正每个单位错误。

error in bit | p1 | p2 | d1 | p3 | d2 | d3 | d4 | no error
-------------|---------------------------------------------
p1 matches   | no | yes| no | yes| no | yes| no | yes
p2 matches   | yes| no | no | yes| yes| no | no | yes
p3 matches   | yes| yes| yes| no | no | no | no | yes

例

让您的数据成为1011。奇偶校验位是p1 = 1 + 0 + 1 = 0，p2 = 1 + 1 + 1 = 1和p3 = 0 + 1 + 1 = 0。组合数据和奇偶校验位，您将得到码字0110011。

data bits   |   1 011
parity bits | 01 0
--------------------
codeword    | 0110011

假设在传输或计算过程中第6位（=第3数据位）翻转。您会收到这个词0110001。据称收到的数据是1001。您重新计算奇偶校验位p1 = 1 + 0 + 1 = 0，p2 = 1 + 0 + 1 = 0，p3 = 0 + 0 + 1 = 1。仅p1匹配代码字的奇偶校验位0110001。因此发生错误。查看上表，告诉我们发生了错误d3，您可以恢复原始数据1011。

挑战：

编写一个接收一个字（7位）的函数或程序，其中一位可能是错误的，然后恢复原始数据。输入（通过STDIN，命令行参数，提示或函数参数）格式可以是MSB中的字符串"0110001"，列表或数组[0, 1, 1, 0, 0, 0, 1]或整数0b0110001 = 49。如上所述，输入的顺序为p1 p2 d1 p3 d2 d3 d4。输出（通过返回值或STDOUT）必须具有相同的格式，但顺序为d1 d2 d3 d4。仅返回/输出4个数据位。

这是代码高尔夫球。因此，以最短的代码为准。

测试用例：

1110000 -> 1000  # no error
1100000 -> 1000  # error at 1st data bit
1111011 -> 1111  # error at 2nd data bit
0110001 -> 1011  # error at 3rd data bit (example)
1011011 -> 1010  # error at 4th data bit
0101001 -> 0001  # error at 1st parity bit
1010000 -> 1000  # error at 2nd parity bit
0100010 -> 0010  # error at 3rd parity bit

显示代码段

code-golf  error-correction  coding-theory 
— 雅库比
source
1
是否有特定原因会在第一个数据位之后给出最后一个奇偶校验位？
— xnor
2
@xnor从数学上讲，奇偶校验位在什么位置没有什么区别。从历史上看，它们被置于两个权力的位置。例如汉明（15,11）具有在位置1，2，4和8的奇偶校验位
— Jakube
4
@xnor如果采用[is_p3_wrong][is_p2_wrong][is_p1_wrong]基数2，则会给出单词中错误位的位置。（基于问题的表格。）这对于某些算法可能很有用。
— randomra 2015年
非常好:)当您编写“写一个接收到一个单词（7位）的函数或程序时，其中之一可能是错误的，[...]”我想您是说其中一位可能是错误的，但是您实际上说的话可能是其中之一。
@Lembik当然可以了。
— Jakube 2015年

Answers:

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八度，70 66 55字节

此功能用于F设置解码矩阵H，查找错误并更正错误的位置（如果存在）。然后它返回正确的数据位。输入是标准行向量。

@Jakube建议，我应该使用Octave而不是Matlab，在这里可以在表达式上使用索引，这会使整个过程再缩短11个字节：

F=@(c)xor(c,1:7==bi2de(mod(c*de2bi(1:7,3),2)))([3,5:7])

以下是Matlab中最短的解决方案，因为您不能直接在表达式上使用索引。（当然，这也可以在Octave中使用。）能够用xor：替换additional / mod2 ：

f=@(c)c([3,5:7]);F=@(c)f(xor(c,1:7==bi2de(mod(c*de2bi(1:7,3),2))))

旧：

f=@(c)c([3,5:7]);F=@(c)f(mod(c+(1:7==bi2de(mod(c*de2bi(1:7,3),2))),2))
— 瑕疵
source
谢谢，但是这行不通，不幸的是，您只能以这种方式访问​​变量...
— 更加糟糕的
1
没有安装Matlab，我只http://octave-online.net/在能工作的地方使用过。也许改变语言？
— 2015年
哦，我已经很怀疑八度可以这样做了，但是我当然会改变语言，非常感谢！
— flawr
14

彼得50x11 = 550

在此处输入图片说明

Codel的大小为15。不太担心大小，但是它通过了所有测试。

— Captncraig
source
4
考虑到问题的背景，我宁愿这样。
1
@Optimizer的“ codel大小”本质上是piet程序的放大系数。此处，每个逻辑像素（或编码1）已扩展为15x15的块，以使可见性更容易。那是我的意思，而不是“代码大小”
— captncraig 2015年
啊.....我的坏。
— Optimizer
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Python，79岁

f=lambda x,n=0,e=3:e&~-e and f(x,n+1,(n&8)*14^(n&4)*19^(n&2)*21^n%2*105^x)or~-n

将输入和输出视为数字，右边的最低有效位。

与其尝试进行错误恢复，不如尝试将每个可能的消息n从0 编码为15，直到获得的编码与给出的编码相差一小部分。递归一直递增，n直到找到有效的递归并返回为止。尽管没有显式终止，但它必须在16个循环内结束。

该表达式(n&8)*14^(n&4)*19^(n&2)*21^n%2*105按位实现汉明矩阵。

为了检查单个错误，我们将给定的消息与计算得到的消息进行异或运算e，然后使用经典的bit-trick检查它是否是2的幂（或0）e&~-e==0。但是，我们实际上无法e在lambda中分配该变量，因此我们在此表达式中两次对其进行了引用，因此我们很想将其作为可选参数传递给下一个递归步骤。

— 异或
source
7

JavaScript（ES6），92 87 81

函数在MSB中获取和返回一个整数。
在@randomra注释之后，实现是Straightforwrd：

  • calc p3wrong | p2wrong | p1wrong（第2、3、4行）
  • 将其用作位掩码以翻转错误的位（第1行），
  • 然后只返回数据位（最后一行）
F=w=>(w^=128>>(
  (w^w*2^w*4^w/2)&4|
  (w/8^w^w*2^w/16)&2|
  (w/16^w/4^w^w/64)&1
))&7|w/2&8

测试在Frefox /萤火控制台

;[0b1110000,0b1100000,0b1111011,0b0110001,
0b1011011,0b0101001,0b1010000,0b0100010]
.map(x=>x.toString(2)+'->'+F(x).toString(2))

输出量

["1110000->1000", "1100000->1000", "1111011->1111", "110001->1011", "1011011->1010", "101001->1", "1010000->1000", "100010->10"]
— edc65
source
1
我真的很喜欢您的紧凑按位操作解决方案=）
— 瑕疵的
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Python 2，71

f=lambda i,b=3:i&7|i/2&8if chr(i)in'\0%*3<CLUZfip'else f(i^b/2,b*2)

几个字符是不可打印的ASCII，因此这是转义的版本：

f=lambda i,b=3:i&7|i/2&8if chr(i)in'\0\x0f\x16\x19%*3<CLUZfip\x7f'else f(i^b/2,b*2)

函数的输入和输出以整数形式完成。

我利用了这样一个事实，即有效消息的数量仅为16，并对所有消息进行硬编码。然后，我尝试翻转不同的位，直到得到其中之一。

— 费瑟姆
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3

Haskell，152个字节

a(p,q,d,r,e,f,g)=b$(d+e)#p+2*(d+f)#q+4*(e+f)#r where b 3=(1-d,e,f,g);b 5=(d,1-e,f,g);b 6=(d,e,1-f,g);b 7=(d,e,f,g-1);b _=(d,e,f,g);x#y=abs$(x+g)`mod`2-y

用法：a (1,1,1,1,0,1,1)输出哪个(1,1,1,1)

简单的解决方案：如果p<x>不匹配，则<x>在数字中设置位。如果这个数字是3，5，6或者7，翻转对应d<y>。

— 妮米
source
您是否可以添加更多有关如何调用代码的说明（例如，使用诸如ideone.com之类的在线编译器）？我总是会遇到一些奇怪的错误（很可能是我的错）。
— 2015年
@Jakube：将代码保存到文件中，然后说说hamming.hs并加载到Haskell REPL ghci：中ghci hamming.hs。a如上所述调用函数。唯一的网上哈斯克尔解释我所知道的（tryhaskell.org）需要一些更多的代码：let a(p,q, ... 2-y in a (1,1,1,1,0,1,1)
— NIMI
3

IA-32机器代码，36个字节

十六进制转储：

33 c0 40 91 a8 55 7a 02 d0 e1 a8 66 7a 03 c0 e1
02 a8 78 7a 03 c1 e1 04 d0 e9 32 c1 24 74 04 04
c0 e8 03 c3

等效的C代码：

unsigned parity(unsigned x)
{
    if (x == 0)
        return 0;
    else
        return x & 1 ^ parity(x >> 1);
}

unsigned fix(unsigned x)
{
    unsigned e1, e2, e3, err_pos, data;
    e1 = parity(x & 0x55);
    e2 = parity(x & 0x66);
    e3 = parity(x & 0x78);
    err_pos = e1 + e2 * 2 + e3 * 4;
    x ^= 1 << err_pos >> 1;
    data = x;
    data &= 0x74;
    data += 4;
    data >>= 3;
    return data;
}

x86 CPU自动计算每个中间结果的奇偶校验。它具有专用指令jp，该指令根据奇偶校验来跳转或不跳转。

挑战中没有明确指定它，但是汉明码的便利属性是您可以将奇偶校验位解释为二进制数，并且该数字指示在传输过程中损坏了哪个位。实际上，该数字是从1开始的，0表示没有传输错误。这是通过将1向左移动err_pos然后向右移动来实现的1。

纠正传输错误后，代码按所需顺序排列数据位。该代码针对大小进行了优化，起初可能不清楚其工作方式。来解释它，我表示由a，b，c，d的数据比特，并且通过P，Q并且R所述奇偶校验位。然后：

    data = x;     // d  c  b  R  a  Q  P
    data &= 0x74; // d  c  b  0  a  0  0
    data += 4;    // d  c  b  a ~a  0  0
    data >>= 3;   // d  c  b  a

汇编源（fastcall约定，输入在中ecx，输出在中eax）：

    xor eax, eax;
    inc eax;
    xchg eax, ecx;

    test al, 0x55;
    jp skip1;
    shl cl, 1;

skip1:
    test al, 0x66;
    jp skip2;
    shl cl, 2;

skip2:
    test al, 0x78;
    jp skip3;
    shl ecx, 4;

skip3:
    shr cl, 1;
    xor al, cl;

    and al, 0x74;
    add al, 4;
    shr al, 3;

    ret;
— 阿纳托利格
source
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