看一下这张图片。具体而言，如何布置两端的孔。

^{（图片来源）}

请注意，此图像中的管道是如何以六边形图案包装的。众所周知，在2D中，六边形格子是最密集的圆堆积。在这一挑战中，我们将专注于最大程度地减少圆包装的周长。可视化周界的一种有用方法是，想象将橡皮筋套在圆圈集合上。

任务

给定一个正整数n作为输入，请显示n尽可能紧密排列的一组圆圈。

规则和说明

• 假设圆的直径为1个单位。
• 要被最小化的变量是周长，其被定义为长度凸包的的中心组中的圆圈。看一下这张图片：

直线上的三个圆的周长为4（凸包是2x0矩形，对2计数两次），以120度角排列的圆的周长约为3.85，三角形的周长为只有3个单位。请注意，我忽略了实际周长的其他pi单位，因为我仅查看圆的中心，而不是圆的边缘。

• 对于任何给定，可能（几乎肯定会有）多种解决方案n。您可以自行决定输出其中的任何一个。方向无关紧要。
• 圆必须在六边形格子上。
• 圆圈的直径必须至少为10像素，并且可以填充或不填充。
• 您可以编写程序或函数。
• 输入可以通过STDIN作为函数参数或最接近的等效参数进行。
• 输出可以显示或输出到文件。

例子

下面我有n从1到10的有效和无效输出示例（仅对前五个有效示例）。有效的例子在左边；右侧的每个示例都比相应的有效示例大。

非常感谢steveverrill编写此挑战的帮助。包装愉快！

Mathematica 295950 字节

注意：此版本仍待解决，解决了史蒂夫·梅里尔（Steve Merrill）提出的有关我较早尝试的问题。

尽管它是对第一个版本的改进，但是它找不到要寻找圆形而不是六角形整体形状的最密集的手柄配置。

它通过建立一个完整的内部六边形（对于n> = 6）来找到解决方案，然后检查用于完成带有其余圆的外壳的所有配置。

有趣的是，正如史蒂夫·美林（Steve Merrill）在评论中指出的那样，n+1圆的解决方案并不总是由n个圆的解决方案组成，并添加了另一个圆。将给定的30个圆的解决方案与给定的31个圆的解决方案进行比较。（注意：有30个圈子的独特解决方案。）

m[pts_]:={Show[ConvexHullMesh[pts],Graphics[{Point/@pts,Circle[#,1/2]&/@ pts}], 
ImageSize->Tiny,PlotLabel->qRow[{Length[pts],"  circles"}]],
RegionMeasure[RegionBoundary[ConvexHullMesh[pts]]]};
nPoints = ((#+1)^3-#^3)&;pointsAtLevelJ[0] = {{0,0}};
pointsAtLevelJ[j_]:=RotateLeft@DeleteDuplicates@Flatten[Subdivide[#1, #2, j] &@@@
Partition[Append[(w=Table[j{Cos[k Pi/3],Sin[k Pi/3]},{k,0,5}]), 
w[[1]]], 2, 1], 1];nPointsAtLevelJ[j_] := Length[pointsAtLevelJ[j]]
getNPoints[n_] := Module[{level = 0, pts = {}},While[nPoints[level]<=n, 
pts=Join[pointsAtLevelJ[level],pts];level++];Join[Take[pointsAtLevelJ[level],n-Length[pts]],
pts]];ns={1,7,19,37,61,91};getLevel[n_]:=Position[Union@Append[ns,n],n][[1, 1]]-1;
getBaseN[n_] := ns[[getLevel[n]]];pack[1]=Graphics[{Point[{0,0}], Circle[{0, 0}, 1/2]}, 
ImageSize->Tiny];pack[n_]:=Quiet@Module[{base = getNPoints[getBaseN[n]], 
outerRing = pointsAtLevelJ[getLevel[n]], ss},ss=Subsets[outerRing,{n-getBaseN[n]}];
SortBy[m[Join[base,#]]&/@ss,Last][[1]]]

一些检查需要对单个值n（包括对称性）进行十万多个案例的比较。运行了总共34个测试用例大约花费了5分钟。不用说，采用更大的n's暴力手段很快将变得不切实际。肯定存在更有效的方法。

每个包装右边的数字是相应的蓝色凸包的周长。以下是的输出3 < n < 35。红色圆圈是在正六边形周围添加的圆圈。