挑战

编写一个不带输入的程序P，使命题“ P的执行最终终止” 与Peano算术无关。

正式规则

（如果您是一位数学逻辑学家，但认为以上描述过于非正式。）

原则上，可以将某些通用图灵机 U（例如，您喜欢的编程语言）转换为Peano算术公式HALT到变量p上，其中HALT（p）编码命题“ U终止于程序（由Gödel编码）p ”。面临的挑战是找到p，以便无法在Peano算术中证明HALT（p）和¬HALT（p）。

您可能会假设您的程序运行在理想的计算机上，该计算机具有无限的内存和足够大的整数/指针来访问它。

例

为了查看此类程序的存在，一个示例是穷举搜索0 = 1的Peano算术证明的程序。Peano算术证明仅当Peano算术不一致时，该程序才会暂停。由于Peano算法是一致的，但无法证明其自身的一致性，因此无法确定该程序是否暂停。

但是，还有许多独立于Peano算术的命题，您可以在这些命题上建立程序。

动机

这项挑战的灵感来自Yedidia和Aaronson（2016）的一篇新论文，该论文展示了具有7918个状态的图灵机，其不端接独立于ZFC，而ZFC比Peano算术更强大。您可能对其引文感兴趣[22]。当然，面对这一挑战，您可以使用自己选择的编程语言代替实际的图灵机。

Haskell，838字节

“如果您想做点什么，……”

import Control.Monad.State
data T=V Int|T:$T|A(T->T)
g=guard
r=runStateT
s!a@(V i)=maybe a id$lookup i s
s!(a:$b)=(s!a):$(s!b)
s@((i,_):_)!A f=A(\a->((i+1,a):s)!f(V$i+1))
c l=do(m,k)<-(`divMod`sum(1<$l)).pred<$>get;g$m>=0;put m;l!!fromEnum k
i&a=V i:$a
i%t=(:$).(i&)<$>t<*>t
x i=c$[4%x i,5%x i,(6&)<$>x i]++map(pure.V)[7..i-1]
y i=c[A<$>z i,1%y i,(2&)<$>y i,3%x i]
z i=(\a e->[(i,e)]!a)<$>y(i+1)
(i?h)p=c[g$any(p#i)h,do q<-y i;i?h$q;i?h$1&q:$p,do f<-z i;a<-x i;g$p#i$f a;c[i?h$A f,do b<-x i;i?h$3&b:$a;i?h$f b],case p of A f->c[(i+1)?h$f$V i,do i?h$f$V 7;(i+1)?(f(V i):h)$f$6&V i];V 1:$q:$r->c[i?(q:h)$r,i?(2&r:h)$V 2:$q];_->mzero]
(V a#i)(V b)=a==b
((a:$b)#i)(c:$d)=(a#i)c&&(b#i)d
(A f#i)(A g)=f(V i)#(i+1)$g$V i
(_#_)_=0<0
main=print$(r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$3&V 7:$(6&V 7))=<<[0..])!!0

说明

该程序直接搜索0 = 1的Peano算术证明。由于PA是一致的，所以该程序永远不会终止；但是由于PA无法证明其自身的一致性，因此该程序的终止独立于PA。

T 是表达和命题的类型：

• A P表示命题∀ X [ P（X）]。
• (V 1 :$ P) :$ Q表示命题P → Q。
• V 2 :$ P表示命题¬ P。
• (V 3 :$ x) :$ y表示命题x = y。
• (V 4 :$ x) :$ y代表自然x + y。
• (V 5 :$ x) :$ y表示自然X ⋅ ÿ。
• V 6 :$ x代表自然S（x）= x + 1。
• V 7 表示自然0。

在具有i个自由变量的环境中，我们将表达式，命题和证明编码为2×2整数矩阵[1，0; a，b ]，如下所示：

• M（我，∀ X [ P（X）]）= [1，0; 1，4]⋅M（我，λ X [P（x）]的）
• M（我，λ X [ ˚F（X）]）= M（我 + 1，˚F（X）），其中M（Ĵ，X）= [1，0; 所有j > i的 5 + i，4 + j ]
• M（i，P → Q）= [1，0; 2，4]⋅M（i，P）⋅M（i，Q）
• M（我，¬ P）= [1,0; 3，4]⋅M（i，P）
• M（i，x = y）= [1，0; 4，4]⋅M（i，x）⋅M（i，y）
• M（i，x + y）= [1，0; 1，4 + i ]⋅M（i，x）⋅M（i，y）
• M（我，X ⋅ ÿ）= [1，0; 2，4 + i ]⋅M（i，x）⋅M（i，y）
• M（i，S x）= [1，0; 3，4 + i ]⋅M（i，x）
• M（i，0）= [1，0; 4，4 + 我 ]
• M（我，（Γ，P）⊢ P）= [1,0; 1，4]
• M（我，Γ ⊢ P）= [1,0; 2，4]⋅M（我，Q）⋅M（我，Γ ⊢ Q）⋅M（我，Γ ⊢ Q → P）
• M（我，Γ ⊢ P（X））= [1，0; 3，4]⋅M（我，λ X [P（x）]的）⋅M（我，X）⋅[1,0; 1，2]⋅M（我，Γ ⊢＆ForAll; X P（x）的）
• M（我，Γ ⊢ P（X））= [1，0; 3，4]⋅M（我，λ X [P（x）]的）⋅M（我，X）⋅[1,0; 2，2]⋅M（i，y）⋅M（我，Γ ⊢ ÿ = X）⋅M（我，Γ ⊢ P（Ý））
• M（我，Γ ⊢＆ForAll; X，P（X））= [1，0; 8,8]⋅M（我，λ X [ Γ ⊢ P（X）]）
• M（我，Γ ⊢＆ForAll; X，P（X））= [1，0; 12，8]⋅M（我，Γ ⊢ P（0））⋅M（我，λ X [（Γ，P（X））⊢ P（S（X））]）
• M（我，Γ ⊢ P → Q）= [1，0; 8,8]⋅M（我，（Γ，P）⊢ Q）
• M（我， Γ ⊢ P → Q）= [1，0; 12，8]⋅M（我，（Γ，¬ Q）⊢¬ P）

剩余的公理被数字编码并包含在初始环境Γ中：

• M（0，∀ X [ X = X ]）= [1，0; 497、400]
• M（0，∀ X [¬（S（X）= 0）]）= [1，0; 8269、8000]
• M（0，∀ X ∀ ÿ [S（X）= S（Ý）→ X = Ý ]）= [1，0; 56106533，47775744]
• M（0，∀ X [ X + 0 = X ]）= [1，0; 12033，10000]
• M（0，∀ ÿ [ x + S（y）= S（x + y）]）= [1，0; 123263749，107495424]
• M（0，∀ X [ X ⋅0 = 0]）= [1，0; 10049，10000]
• M（0，∀ X ∀ ÿ [ X ⋅S（ Ý）= X ⋅ ÿ + X ]）= [1，0; 661072709，644972544]

矩阵为[1，0; 一种，b ]可以检查仅给出左下角一个（或任何其他值全等一个模b）; 还有其他值可用来构成证明。

例如，这里证明加法是可交换的。

• M（0，Γ ⊢∀ X ∀ ÿ [ X + ý = ÿ + X]）= [1，0; 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644，14010499234317302152403198529613715336094817740448888109376168978138227692104106788277363562889534501599380268163213618740021570705080096139804941973102814335632180523847407060058534443254569282138051511292576687428837652027900127452656255880653718107444964680660904752950049505280000000000000000000000000000000000000000000000000000000]

您可以使用以下程序验证它：

*Main> let p = A $ \x -> A $ \y -> V 3 :$ (V 4 :$ x :$ y) :$ (V 4 :$ y :$ x)
*Main> let a = 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644
*Main> r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$p)a :: [((),Integer)]
[((),0)]

如果证明无效，您将得到一个空列表。