定义

沃尔斯滕霍姆定理指出：

其中 a和b是正整数，p是素数，大括号是二项式系数。

任务

为了验证这一点，你将有三个输入：a，b，p，其中a和b是正整数且p是素数。

计算：

其中 a和b是正整数，p是质数，括号thing是二项式系数。

眼镜

以来：

其中，圆括号是二项式系数。

您可以假设 2b <= a

测试用例

a b p  output
6 2 5  240360
3 1 13 3697053
7 3 13 37403621741662802118325

Haskell，73 71字节

由于递归，此实现非常慢。不幸的是，我对二项式系数的定义与的长度相同import Math.Combinatorics.Exact.Binomial。

n#k|k<1||k>=n=1|1>0=(n-1)#(k-1)+(n-1)#k --binomial coefficient
f a b p=div((a*p)#(b*p)-a#b)p^3       --given formula

一个有趣的奇怪之处是，Haskell 98确实允许算术模式，该算术模式会将相同的代码缩短为64个字节：

g a b p=div((a*p)#(b*p)-a#b)p^3
n+1#k|k<1||k>n=1|1>0=n#(k-1)+n#k

果冻，12 11 10 字节

ż×c/I÷S÷²}

Expect a, b和p作为命令行参数。

在线尝试！或验证所有测试用例。

怎么运行的

ż×c/I÷S÷²}  Main link. Left argument: a, b. Right argument: p

 ×          Multiply; yield [pa, pb].
ż           Zipwith; yield [[a, pa], [b, pb]].
  c/        Reduce columns by combinations, yielding [aCb, (pa)C(pb)].
    I       Increments; yield [(pa)C(pb) - aCb].
     ÷      Divide; yield [((pa)C(pb) - aCb) ÷ p].
      S     Sum; yield ((pa)C(pb) - aCb) ÷ p.
        ²}  Square right; yield p².
       ÷    Divide; yield  ((pa)C(pb) - aCb) ÷ p³.

Python 2，114 109 85 71字节

一个简单的实现。欢迎打高尔夫球。

编辑： -29字节感谢Leaky Nun，-14字节感谢Dennis。

lambda a,b,p,f=lambda n,m:m<1or f(n-1,m-1)*n/m:(f(a*p,b*p)-f(a,b))/p**3

借助丹尼斯，一个更简单，等长的替代方案是

f=lambda n,m:m<1or f(n-1,m-1)*n/m
lambda a,b,p:(f(a*p,b*p)-f(a,b))/p**3

05AB1E，11个字节

输入为：

[a, b]
p

码：

*`c¹`c-²3m÷

使用CP-1252编码。在线尝试！。

R，50 48字节

function(a,b,p)(choose(a*p,b*p)-choose(a,b))/p^3

尽可能简单明了...感谢@Neil节省了2个字节。

MATL，13字节

y*hZ}Xnd2G3^/

在线尝试！

由于数值精度，最后一个测试用例不会产生确切的整数。MATL的默认数据类型（double）只能处理不超过的精确整数2^53。

说明

y   % Implicitly input [a; b] (col vector) and p (number). Push another copy of [a; b]
    %   Stack: [a; b], p, [a; b]
*   % Multiply the top two elements from the stack
    %   Stack: [a; b], [a*p; b*p]
h   % Concatenate horizontally
    %   Stack: [a, a*p; b, b*p]
Z}  % Split along first dimension
    %   Stack: [a, a*p], [b, b*p]
Xn  % Vectorize nchoosek
    %   Stack: [nchoosek(a,b), nchoosek(a*p,b*p)]
d   % Consecutive differences of array
    %   Stack: nchoosek(a,b)-nchoosek(a*p,b*p)
2G  % Push second input again
    %   Stack: nchoosek(a,b)-nchoosek(a*p,b*p), p
3^  % Raise to third power
    %   Stack: nchoosek(a,b)-nchoosek(a*p,b*p), p^3
/   % Divide top two elements from the stack
    %   Stack: (nchoosek(a,b)-nchoosek(a*p,b*p))/p^3
    % Implicitly display

J，17个字节

(!/@:*-!/@[)%]^3:

用法

(b,a) ( (!/@:*-!/@[)%]^3: ) p

例如：

   2 6 ( (!/@:*-!/@[)%]^3: ) 5
240360

到目前为止，这只是该公式的直接实现。

注意：对于第三个测试用例，必须将输入数字定义为扩展的（以处理大运算）：

   3x 7x ( (!/@:*-!/@[)%]^3: ) 13x
37403621741662802118325

Brachylog，52位元组

tT;T P&t^₃D&h↰₁S&h;Pz×₎ᵐ↰₁;S-;D/
hḟF&⟨{-ḟ}×{tḟ}⟩;F↻/

在线尝试！

接受输入[[a, b], p]。

% Predicate 1 - Given [n, r], return binomial(n, r)
hḟF              % Compute n!, set as F
&⟨               % Fork:
  {-ḟ}           % (n - r)!
  ×              % times
  {tḟ}           % r!
⟩                
;F↻              % Prepend n! to that
/                % Divide n! by the product and return

% Predicate 0 (Main)
tT;T P           % Set P to the array [p, p] 
&t^₃D            % Set D as p^3
&h↰₁S            % Call predicate 1 on [a, b], 
                 %  set S as the result binomial(a, b)
&h;Pz×₎ᵐ         % Form array [ap, bp]
↰₁               % Call predicate 1 on that to get binomial(ap, bp)
;S-              % Get binomial(ap, bp) - binomial(a, b)
;D/              % Divide that by the denominator term p^3
                 % Implicit output

具有SciPy的 Python 3，72个字节

from scipy.special import*
lambda a,b,p:(binom(a*p,b*p)-binom(a,b))/p**3

一个匿名函数，它通过参数获取输入并返回结果。

这里没有很多事情发生。这是所需计算的直接实现。

在Ideone上尝试一下（对于最后一个测试用例，结果以指数表示法返回）

Nim，85 82 75 59字节

import math,future
(a,b,p)=>(binom(a*p,b*p)-binom(a,b))/p^3

这是一个匿名过程；要使用它，必须将它作为参数传递给另一个过程，该过程将打印它。下面给出了可用于测试的完整程序

import math,future
proc test(x: (int, int, int) -> float) =
 echo x(3, 1, 13) # substitute in your input or read from STDIN
test((a,b,p)=>(binom(a*p,b*p)-binom(a,b))/p^3)

Nim的math模块的binomproc计算其两个参数的二项式系数。

Python 2，67字节

def f(a,b,p):B=2<<a*p;R=(B+1)**a;print(R**p/B**(p*b)-R/B**b)%B/p**3

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使用此方法算术表示二项式系数。

JavaScript（ES6），70个字节

(a,b,p,c=(a,b)=>a==b|!b||c(--a,b)+c(a,--b))=>(c(a*p,b*p)-c(a,b))/p/p/p

使用ES7（/p**3而不是/p/p/p）节省1个字节。

APL（Dyalog），18字节

{(-/!/¨⍺1×⊂⍵)÷⍺*3}

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Pari / GP，43个字节

(a,b,p)->((c=binomial)(a*p,b*p)-c(a,b))/p^3

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