Mathematica 118

尽管有定义明确的例程可以计算绘制了所有对角线的正则n边形中的区域数，但它们非常麻烦。我认为采用图像处理方法可能会很有趣：如果我们绘制带有对角线的n边形，是否有可能从绘制的图像中计算出区域（更准确地说，是从图像的光栅化和二值化表示为数组）？

以下生成并处理多边形的实际图像，并根据光栅化图像确定区域数。

Table[MorphologicalEulerNumber@Binarize@Rasterize@CompleteGraph[k, ImageSize->1200,EdgeStyle->Thickness[Large]],{k,3,14}]

{1、3、11、24、50、80、154、220、375、444、781、952}

这就是所谓的工程师解决方案。它可以完成工作，但只能在某些有限条件下完成。（而且很慢：上面的代码花了4.24 s来运行。）上面的例程可以正常工作，直到并包括一个14-Complete图，如下所示。我发现这令人惊讶，因为即使以1200 x 1200像素显示图像，也很难看到952个区域。

下图是光栅化和二值化之前的图像。

14个完整的图

— 戴维
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Excel，341字节

实现@mob注释中Woflram Mathworld链接上给出的公式。

=A1*(A1^3-6*A1^2+23*A1-42)/24+1+(MOD(A1,2)=0)*(A1*(42*A1-5*A1^2-40)/48-1)-(MOD(A1,4)=0)*3*A1/4+(MOD(A1,6)=0)*A1*(310-53*A1)/12+(MOD(A1,12)=0)*49/2*A1+(MOD(A1,18)=0)*32*A1+(MOD(A1,24)=0)*19*A1-(MOD(A1,30)=0)*36*A1-(MOD(A1,42)=0)*50*A1-(MOD(A1,60)=0)*190*A1-(MOD(A1,84)=0)*78*A1-(MOD(A1,90)=0)*48*A1-(MOD(A1,120)=0)*78*A1-(MOD(A1,210)=0)*48*A1

为了清楚起见，不做广告：

=A1*(A1^3-6*A1^2+23*A1-42)/24+1
+(MOD(A1,2)=0)  *(A1*(42*A1-5*A1^2-40)/48-1)
-(MOD(A1,4)=0)  *3*A1/4
+(MOD(A1,6)=0)  *A1*(310-53*A1)/12
+(MOD(A1,12)=0) *49/2*A1
+(MOD(A1,18)=0) *32*A1
+(MOD(A1,24)=0) *19*A1
-(MOD(A1,30)=0) *36*A1
-(MOD(A1,42)=0) *50*A1
-(MOD(A1,60)=0) *190*A1
-(MOD(A1,84)=0) *78*A1
-(MOD(A1,90)=0) *48*A1
-(MOD(A1,120)=0)*78*A1
-(MOD(A1,210)=0)*48*A1

— 韦尼施
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正多边形的区域

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