给定一个高斯整数，其中，是整数，并且是虚数单位，返回最接近的（爱荷华氏距离的wrt）爱森斯坦整数其中，是整数，。$a+bi$$a$$b$$i = \exp\left(\pi i/2\right)$$k+l\omega$$k$$l$$\omega = \exp(2\pi i/3) = (-1+i\sqrt{3})/2$

背景

很明显，每个高斯整数可以唯一地用，整数表示为。它不是那么明显，但仍然如此：任何艾森斯坦整数能唯一被写为与，整数。它们都形成复数内的 -模数，并且分别是或的第p个环原子整数。注意$a+bi$$a$$b$$k+l\omega$$k$$l$$\mathbb{Z}$$p=2$$3$$3+2i \neq 3+2\omega$

_{^{资料来源：commons.wikimedia.org}}

细节

• 如果给定的复数具有两个或三个最接近的点，则可以返回任何一个。

• 复数以直角坐标（bass）给出，但不是以任何方便的格式（例如或或类似形式）给出。$(1,i)$(A,B)A+BiA+B*1j

• 爱森斯坦整数必须作为基数坐标返回但不是以任何方便的格式（如or 或etc）返回。$(1,\omega)$(K,L)K+LωK+L*1ω

例子

所有实整数显然应该再次映射到实整数。

  6,14 -> 14,16
  7,16 -> 16,18
-18,-2 ->-19,-2
 -2, 2 -> -1, 2
 -1, 3 -> 1, 4

APL（Dyalog扩展），16字节^SBCS

⎕0+⌈3÷⍨1 2×⌊⎕×√3

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一个完整的程序，y然后x从标准输入中获取并打印2元素的整数矢量。

工作原理：数学

首先，请注意，任何高斯整数都将放置在菱形的垂直对角线上，对于某些整数点放置在。$Z$$(x,\sqrt3y)$$x,y$

      + W
     /|\
    / | \
   /  |  \
  /   + X \
 /    |    \
+-----|-----+V
 \    |    /
  \   + Y /
   \  |  /
    \ | /
     \|/
      + Z

在图中，和。因此，在给定点的垂直位置的情况下，我们可以如下确定最近的爱森斯坦点：$\overline{WZ}=\sqrt3$$\overline{WX}=\overline{XY}=\overline{YZ}=\overline{XV}=\overline{YV}=\frac{1}{\sqrt3}$

$$\text{Given a point }P \in \overline{WZ}, \\ \left\{ \begin{array}{c} P \in \overline{WX} \implies \text{the nearest point is } W \\ P \in \overline{XY} \implies \text{the nearest point is } V \\ P \in \overline{YZ} \implies \text{the nearest point is } Z \end{array} \right.$$

给定一个高斯点，我们首先确定属于哪个钻石，该钻石由偏离轴的钻石数（表示为）来衡量。$P$$P$$h$$Z$$x$

$$h = \lfloor P.y \div \sqrt3 \rfloor$$

那么的爱森斯坦坐标是$Z$

$$Z.x_E = P.x+h, \quad Z.y_E = 2h$$

现在，我们确定属于哪个段。为此，我们可以如下计算指标：$\overline{WX},\overline{XY},\overline{YZ}$ $P$$w$

$$w = \lfloor P.y \times \sqrt3 \rfloor \% 3$$

那么，的情况对应于。最后，的最近爱森斯坦点（它是，或）可以计算为：$w = 0, 1, 2$$\overline{YZ},\overline{XY},\overline{WX}$$P$$Z$$V$$X$

$$P_E.x_E = P.x+h+\lceil \frac{w}2 \rceil, \quad P_E.y_E = 2h+w$$

使用和的身份，我们可以进一步简化为：$h$$w$

$$y' = \lfloor P.y \times \sqrt3 \rfloor, \quad P_E.x_E = P.x+\lceil y' \div 3 \rceil, \quad P_E.y_E = \lceil 2y' \div 3 \rceil$$

工作原理：代码

⎕0+⌈3÷⍨1 2×⌊⎕×√3
           ⌊⎕×√3  ⍝ Take the first input (P.y) and calculate y'
   ⌈3÷⍨1 2×       ⍝ Calculate [ceil(y'/3), ceil(2y'/3)]
⎕0+  ⍝ Take the second input(P.x) and calculate [P.x+ceil(y'/3), ceil(2y'/3)]

JavaScript（ES6），112字节

(a,b,l=b/Math.pow(.75,.5),k=a+l/2,f=Math.floor,x=k-(k=f(k)),y=l-(l=f(l)),z=x+y>1)=>[k+(y+y+z>x+1),l+(x+x+z>y+1)]

ES7显然可以修剪9个字节。说明：k并且l最初代表的浮点解k+ωl=a+ib。但是，需要将坐标四舍五入到欧几里德距离。因此，我对k和l进行了讨论，然后对小数部分执行一些测试，以确定增加它们是否会导致更接近a+ib。

MATL，39 38 35字节

t|Ekt_w&:2Z^tl2jYP3/*Zeh*!sbw6#YkY)

输入格式为6 + 14*1j（空格为可选）。输出格式为14 16。

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说明

该代码首先将输入作为复数。然后，它在复平面上生成一个足够大的六边形网格，找到最接近输入的点，并返回其爱森斯坦“坐标”。

t         % Take input implicitly. This is the Gauss number, say A. Duplicate
|Ek       % Absolute value times two, rounded down
t_        % Duplicate and negate
w&:       % Range. This is one axis of Eisenstein coordinates. This will generate
          % the hexagonal grid big enough
2Z^       % Cartesian power with exponent 2. This gives 2-col 2D array, say B
t         % Duplicate
l         % Push 1
2jYP3/*   % Push 2*j*pi/3
Ze        % Exponential
h         % Concatenate. Gives [1, exp(2*j*pi/3)]
*         % Multiply by B, with broadcast.
!s        % Sum of each row. This is the hexagonal grid as a flattened array, say C
bw        % Bubble up, swap. Stack contains now, bottom to top: B, A, C
6#Yk      % Index of number in C that is closest to A
Y)        % Use as row index into B. Implicitly display

Haskell，128个字节

i=fromIntegral;r=[floor,ceiling];a!k=(i a-k)**2;c(a,b)|l<-2*i b/sqrt 3,k<-i a+l/2=snd$minimum[(x k!k+y l!l,(x k,y l))|x<-r,y<-r]

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对于输入的高斯整数（a，b），将其转换为Eisenstein坐标，floor和ceil两个分量，以获得四个最接近Eisenstein整数的候选，找到距离最小的整数并将其返回。

TCL，124个 116 106字节

{{a b f\ int(floor(2*$b/3**.5)) {l "[expr $f+(1-$f%2<($b-$f)*3**.5)]"}} {subst [expr $l+$a-($f+1)/2]\ $l}}

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这多少受到@Neil三年来的启发

floor函数返回菱形的角，其边缘是向量1和。关于此菱形，高斯整数位于顶部（如果l为偶数）或底部（如果l为奇数）的垂直双扇区上。这很重要，因为这意味着左下角或右上角都是可接受的解决方案。我计算左下角的k，然后做一个测试，看高斯整数是位于分隔两个角的对角线的上方还是下方。当对角线上方时，我将k加1，对l同样如此。$\omega$

通过使用“对角线d的叉积vxd的符号，向量v连接右下角和（a，b）来节省10个字节”作为该点位于对角线哪一侧的测试。

滑稽，24字节

pe@3r@2././J2./x/.+CL)R_

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可以肯定这可以缩短。输入为a b

pe      # Parse input to two ints
@3r@2./ # sqrt(3)/2
./      # Divide b by sqrt(3)/2
J2./    # Duplicate and divide by 2
x/.+    # swap stack around and add to a
CL      # Collect the stack to a list
)R_     # Round to ints

05AB1E，13个字节

冒泡港口的APL答案

3t*ïx‚3/îR΂+

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输入和输出均为y优先，x其次。